Nastavljajući temu “Rješavanje jednadžbi”, materijal u ovom članku će vas upoznati s kvadratnim jednadžbama.

Pogledajmo sve detaljno: suštinu i notaciju kvadratne jednadžbe, definiramo prateće članove, analiziramo shemu za rješavanje nepotpunih i potpunih jednačina, upoznamo se s formulom korijena i diskriminanta, uspostavimo veze između korijena i koeficijenata, i naravno daćemo vizuelno rešenje praktičnim primerima.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratna jednadžba, njene vrste

Definicija 1

Kvadratna jednadžba je jednačina napisana kao a x 2 + b x + c = 0, Gdje x– varijabla, a , b i c– neki brojevi, dok a nije nula.

Često se kvadratne jednačine nazivaju i jednačinama drugog stepena, jer je u suštini kvadratna jednačina algebarska jednačina drugog stepena.

Dajemo primjer koji ilustruje datu definiciju: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, itd. Ovo su kvadratne jednadžbe.

Definicija 2

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, dok je koeficijent a naziva se prvi, ili stariji, ili koeficijent na x 2, b - drugi koeficijent, ili koeficijent na x, A c naziva slobodnim članom.

Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 vodeći koeficijent je 6, drugi koeficijent je − 2 , a slobodni termin je jednak − 11 . Obratimo pažnju na činjenicu da kada su koef b i/ili c su negativni, tada se koristi kratki oblik forme 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, ali ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Razjasnimo i ovaj aspekt: ​​ako su koeficijenti a i/ili b jednaka 1 ili − 1 , onda možda neće eksplicitno učestvovati u pisanju kvadratne jednačine, što se objašnjava posebnostima pisanja navedenih numeričkih koeficijenata. Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 − y + 7 = 0 vodeći koeficijent je 1, a drugi koeficijent je − 1 .

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

Na osnovu vrijednosti prvog koeficijenta, kvadratne jednačine se dijele na reducirane i nereducirane.

Definicija 3

Redukovana kvadratna jednačina je kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent 1. Za ostale vrijednosti vodećeg koeficijenta, kvadratna jednadžba nije redukovana.

Navedimo primjere: redukovane su kvadratne jednadžbe x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0, od kojih je vodeći koeficijent 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- neredukovana kvadratna jednačina, u kojoj se prvi koeficijent razlikuje od 1 .

Svaka neredukovana kvadratna jednačina može se pretvoriti u redukovanu jednačinu dijeljenjem obje strane s prvim koeficijentom (ekvivalentna transformacija). Transformirana jednačina će imati iste korijene kao i data nereducirana jednačina ili također neće imati korijena uopće.

Razmatranje konkretnog primjera će nam omogućiti da jasno demonstriramo prijelaz sa nereducirane kvadratne jednadžbe na redukovanu.

Primjer 1

S obzirom na jednadžbu 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Neophodno je prevesti originalnu jednačinu u redukovani oblik.

Rješenje

Prema gornjoj shemi, obje strane originalne jednadžbe dijelimo vodećim koeficijentom 6. tada dobijamo: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, a ovo je isto kao: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 i dalje: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Odavde: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Tako se dobija jednačina ekvivalentna datoj.

odgovor: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

Okrenimo se definiciji kvadratne jednadžbe. U njemu smo to precizirali a ≠ 0. Sličan uslov je neophodan za jednačinu a x 2 + b x + c = 0 bila upravo kvadratna, budući da je u a = 0 u suštini se transformiše u linearnu jednačinu b x + c = 0.

U slučaju kada su koef b I c su jednake nuli (što je moguće, pojedinačno i zajedno), kvadratna jednačina se naziva nepotpuna.

Definicija 4

Nepotpuna kvadratna jednadžba- takva kvadratna jednačina a x 2 + b x + c = 0, gdje je barem jedan od koeficijenata b I c(ili oboje) je nula.

Potpuna kvadratna jednadžba– kvadratna jednačina u kojoj svi numerički koeficijenti nisu jednaki nuli.

Hajde da raspravimo zašto se tipovima kvadratnih jednačina daju upravo ova imena.

Kada je b = 0, kvadratna jednadžba poprima oblik a x 2 + 0 x + c = 0, što je isto kao a x 2 + c = 0. At c = 0 kvadratna jednačina se piše kao a x 2 + b x + 0 = 0, što je ekvivalentno a x 2 + b x = 0. At b = 0 I c = 0 jednačina će poprimiti oblik a x 2 = 0. Jednačine koje smo dobili razlikuju se od potpune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže ni član s promjenljivom x, ni slobodni član, ni oboje. Zapravo, ova činjenica je dala naziv ovoj vrsti jednačine – nepotpuna.

Na primjer, x 2 + 3 x + 4 = 0 i − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 su potpune kvadratne jednadžbe; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 · x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 · x = 0 – nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Gore navedena definicija omogućava razlikovanje sljedećih tipova nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

• a x 2 = 0, ova jednačina odgovara koeficijentima b = 0 i c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 na b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 na c = 0.

Razmotrimo sekvencijalno rješenje svake vrste nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješenje jednačine a x 2 =0

Kao što je gore pomenuto, ova jednačina odgovara koeficijentima b I c, jednako nuli. Jednačina a x 2 = 0 može se pretvoriti u ekvivalentnu jednačinu x 2 = 0, koji dobijamo dijeljenjem obje strane originalne jednadžbe brojem a, nije jednako nuli. Očigledna činjenica je da je korijen jednačine x 2 = 0 ovo je nula jer 0 2 = 0 . Ova jednadžba nema druge korijene, što se može objasniti svojstvima stepena: za bilo koji broj p, nije jednako nuli, nejednakost je tačna p 2 > 0, iz čega proizlazi da kada p ≠ 0 jednakost p 2 = 0 nikada neće biti postignut.

Definicija 5

Dakle, za nepotpunu kvadratnu jednačinu a x 2 = 0 postoji jedan korijen x = 0.

Primjer 2

Na primjer, riješimo nepotpunu kvadratnu jednačinu − 3 x 2 = 0. To je ekvivalentno jednačini x 2 = 0, njegov jedini korijen je x = 0, tada originalna jednadžba ima jedan korijen - nulu.

Ukratko, rješenje je napisano na sljedeći način:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Rješavanje jednačine a x 2 + c = 0

Sljedeće na redu je rješenje nepotpunih kvadratnih jednadžbi, gdje je b = 0, c ≠ 0, odnosno jednadžbe oblika a x 2 + c = 0. Hajde da transformišemo ovu jednačinu tako što ćemo pomeriti član s jedne strane jednačine na drugu, promeniti predznak u suprotan i podeliti obe strane jednačine brojem koji nije jednak nuli:

• transfer c na desnu stranu, što daje jednačinu a x 2 = − c;
• podijelite obje strane jednačine sa a, završavamo sa x = - c a .

Naše transformacije su prema tome ekvivalentne, rezultirajuća jednačina je također ekvivalentna originalnoj, a ta činjenica omogućava izvođenje zaključaka o korijenima jednačine. Od toga kakve su vrijednosti a I c vrijednost izraza - c a zavisi: može imati znak minus (na primjer, ako a = 1 I c = 2, zatim - c a = - 2 1 = - 2) ili znak plus (na primjer, ako a = − 2 I c = 6, tada - c a = - 6 - 2 = 3); nije nula jer c ≠ 0. Zaustavimo se detaljnije na situacijama kada - c a< 0 и - c a > 0 .

U slučaju kada - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа str jednakost p 2 = - c a ne može biti tačna.

Sve je drugačije kada je - c a > 0: zapamtite kvadratni korijen i postat će očito da će korijen jednačine x 2 = - c a biti broj - c a, jer - c a 2 = - c a. Nije teško shvatiti da je broj - - c a također korijen jednačine x 2 = - c a: zaista, - - c a 2 = - c a.

Jednačina neće imati druge korijene. To možemo demonstrirati koristeći metodu kontradikcije. Za početak, definirajmo oznake za korijene pronađene iznad kao x 1 I − x 1. Pretpostavimo da jednačina x 2 = - c a također ima korijen x 2, što se razlikuje od korijena x 1 I − x 1. To znamo zamjenom u jednačinu x njene korijene, transformiramo jednačinu u poštenu numeričku jednakost.

Za x 1 I − x 1 pišemo: x 1 2 = - c a , i za x 2- x 2 2 = - c a . Na osnovu svojstava numeričkih jednakosti, oduzimamo jedan tačan pojam jednakosti od drugog, što će nam dati: x 1 2 − x 2 2 = 0. Koristimo svojstva operacija s brojevima da prepišemo posljednju jednakost kao (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Poznato je da je proizvod dva broja nula ako i samo ako je barem jedan od brojeva nula. Iz navedenog proizilazi da x 1 − x 2 = 0 i/ili x 1 + x 2 = 0, što je isto x 2 = x 1 i/ili x 2 = − x 1. Nastala je očigledna kontradikcija, jer je u početku bilo dogovoreno da je korijen jednačine x 2 razlikuje se od x 1 I − x 1. Dakle, dokazali smo da jednačina nema korijene osim x = - c a i x = - - c a.

Hajde da sumiramo sve gore navedene argumente.

Definicija 6

Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + c = 0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 = - c a, koja:

• neće imati korijene u - c a< 0 ;
• imaće dva korena x = - c a i x = - - c a za - c a > 0.

Navedimo primjere rješavanja jednačina a x 2 + c = 0.

Primjer 3

Zadana kvadratna jednačina 9 x 2 + 7 = 0. Potrebno je pronaći rješenje.

Rješenje

Pomerimo slobodni član na desnu stranu jednačine, tada će jednačina poprimiti oblik 9 x 2 = − 7.
Podijelimo obje strane rezultirajuće jednačine sa 9 , dolazimo do x 2 = - 7 9 . Na desnoj strani vidimo broj sa predznakom minus, što znači: data jednačina nema korijen. Zatim originalna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 neće imati korena.

odgovor: jednačina 9 x 2 + 7 = 0 nema korena.

Primjer 4

Jednačinu treba riješiti − x 2 + 36 = 0.

Rješenje

Pomaknimo 36 na desnu stranu: − x 2 = − 36.
Podijelimo oba dijela sa − 1 , dobijamo x 2 = 36. Na desnoj strani nalazi se pozitivan broj, iz čega to možemo zaključiti x = 36 ili x = - 36 .
Izvadimo korijen i zapišemo konačni rezultat: nepotpuna kvadratna jednadžba − x 2 + 36 = 0 ima dva korena x = 6 ili x = − 6.

odgovor: x = 6 ili x = − 6.

Rješenje jednadžbe a x 2 +b x=0

Analizirajmo treću vrstu nepotpunih kvadratnih jednadžbi, kada c = 0. Pronaći rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 + b x = 0, koristićemo metod faktorizacije. Faktorizujmo polinom koji se nalazi na lijevoj strani jednačine, uzimajući zajednički faktor iz zagrada x. Ovaj korak će omogućiti transformaciju originalne nepotpune kvadratne jednadžbe u njen ekvivalent x (a x + b) = 0. A ova jednadžba je, zauzvrat, ekvivalentna skupu jednačina x = 0 I a x + b = 0. Jednačina a x + b = 0 linearni, i njegov korijen: x = − b a.

Definicija 7

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + b x = 0 imaće dva korena x = 0 I x = − b a.

Pojačajmo gradivo primjerom.

Primjer 5

Potrebno je pronaći rješenje jednačine 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Rješenje

Izvadićemo ga x izvan zagrada dobijamo jednačinu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ova jednačina je ekvivalentna jednačinama x = 0 i 2 3 x - 2 2 7 = 0. Sada biste trebali riješiti rezultirajuću linearnu jednačinu: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Ukratko napišite rješenje jednačine na sljedeći način:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili x = 3 3 7

odgovor: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, formula za korijene kvadratne jednadžbe

Za pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi postoji korijenska formula:

Definicija 8

x = - b ± D 2 · a, gdje D = b 2 − 4 a c– takozvani diskriminant kvadratne jednačine.

Pisanje x = - b ± D 2 · a u suštini znači da je x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Bilo bi korisno razumjeti kako je ova formula izvedena i kako je primijeniti.

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Suočimo se sa zadatkom rješavanja kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0. Hajde da izvršimo nekoliko ekvivalentnih transformacija:

• podijelite obje strane jednačine brojem a, različito od nule, dobijamo sljedeću kvadratnu jednačinu: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Odaberimo cijeli kvadrat na lijevoj strani rezultirajuće jednadžbe:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Nakon toga, jednačina će dobiti oblik: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Sada je moguće posljednja dva člana prenijeti na desnu stranu, mijenjajući predznak u suprotan, nakon čega dobijamo: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Konačno, transformiramo izraz napisan na desnoj strani posljednje jednakosti:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Dakle, dolazimo do jednačine x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ekvivalentne originalnoj jednačini a x 2 + b x + c = 0.

Rješenje takvih jednadžbi smo ispitali u prethodnim paragrafima (rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi). Već stečeno iskustvo omogućava da se izvede zaključak o korijenima jednačine x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• sa b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• kada je b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, jednačina je x + b 2 · a 2 = 0, tada je x + b 2 · a = 0.

Odavde je očigledan jedini korijen x = - b 2 · a;

• za b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, vrijedit će sljedeće: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ili x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , što je isto kao x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ili x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , tj. jednadžba ima dva korijena.

Moguće je zaključiti da prisustvo ili odsustvo korena jednačine x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (a samim tim i originalne jednačine) zavisi od predznaka izraza b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 napisano na desnoj strani. A znak ovog izraza je dat znakom brojioca, (imenik 4 a 2 uvijek će biti pozitivan), odnosno znak izraza b 2 − 4 a c. Ovaj izraz b 2 − 4 a c daje se naziv - diskriminanta kvadratne jednačine i slovo D se definiše kao njena oznaka. Ovdje možete zapisati suštinu diskriminanta - na osnovu njegove vrijednosti i predznaka mogu zaključiti da li će kvadratna jednadžba imati realne korijene i, ako ima, koliki je broj korijena - jedan ili dva.

Vratimo se na jednačinu x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Prepišimo ga koristeći diskriminantnu notaciju: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Hajde da ponovo formulišemo naše zaključke:

Definicija 9

• at D< 0 jednadžba nema pravi korijen;
• at D=0 jednadžba ima jedan korijen x = - b 2 · a ;
• at D > 0 jednadžba ima dva korijena: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 ili x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Na osnovu svojstava radikala, ovi korijeni se mogu zapisati u obliku: x = - b 2 · a + D 2 · a ili - b 2 · a - D 2 · a. A, kada otvorimo module i dovedemo razlomke do zajedničkog imenioca, dobijamo: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Dakle, rezultat našeg razmišljanja bio je izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminanta D izračunato po formuli D = b 2 − 4 a c.

Ove formule omogućavaju određivanje oba realna korijena kada je diskriminanta veća od nule. Kada je diskriminanta nula, primjena obje formule će dati isti korijen kao jedino rješenje kvadratne jednadžbe. U slučaju kada je diskriminant negativan, ako pokušamo koristiti formulu kvadratnog korijena, suočit ćemo se s potrebom da uzmemo kvadratni korijen negativnog broja, što će nas odvesti izvan opsega realnih brojeva. Sa negativnim diskriminantom, kvadratna jednadžba neće imati realne korijene, ali je moguć par kompleksnih konjugiranih korijena, određen istim formulama korijena koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

Kvadratnu jednačinu moguće je riješiti odmah koristeći formulu korijena, ali to se općenito radi kada je potrebno pronaći kompleksne korijene.

U većini slučajeva to obično znači traženje ne kompleksnih, već realnih korijena kvadratne jednadžbe. Tada je optimalno, prije upotrebe formula za korijene kvadratne jednadžbe, prvo odrediti diskriminanta i uvjeriti se da nije negativna (inače ćemo zaključiti da jednačina nema realnih korijena), a zatim nastaviti računati vrijednost korijena.

Gornje rezonovanje omogućava formulisanje algoritma za rješavanje kvadratne jednadžbe.

Definicija 10

Za rješavanje kvadratne jednačine a x 2 + b x + c = 0, potrebno:

• prema formuli D = b 2 − 4 a c pronaći diskriminantnu vrijednost;
• kod D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• za D = 0, pronađite jedini koren jednačine koristeći formulu x = - b 2 · a ;
• za D > 0, odrediti dva realna korijena kvadratne jednadžbe koristeći formulu x = - b ± D 2 · a.

Imajte na umu da kada je diskriminanta nula, možete koristiti formulu x = - b ± D 2 · a, ona će dati isti rezultat kao i formula x = - b 2 · a.

Pogledajmo primjere.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednačina

Dajemo rješenja na primjerima za različite vrijednosti diskriminanta.

Primjer 6

Moramo pronaći korijene jednačine x 2 + 2 x − 6 = 0.

Rješenje

Zapišimo numeričke koeficijente kvadratne jednadžbe: a = 1, b = 2 i c = − 6. Zatim nastavljamo prema algoritmu, tj. Počnimo s izračunavanjem diskriminanta, za koji ćemo zamijeniti koeficijente a, b I c u diskriminantnu formulu: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Tako dobijamo D > 0, što znači da će originalna jednadžba imati dva realna korijena.
Da bismo ih pronašli, koristimo formulu korijena x = - b ± D 2 · a i, zamjenom odgovarajućih vrijednosti, dobijamo: x = - 2 ± 28 2 · 1. Pojednostavimo rezultirajući izraz tako što ćemo uzeti faktor iz predznaka korijena, a zatim smanjiti razlomak:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ili x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ili x = - 1 - 7

odgovor: x = - 1 + 7​​​​, x = - 1 - 7 .

Primjer 7

Potrebno je riješiti kvadratnu jednačinu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Rješenje

Definirajmo diskriminanta: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Sa ovom vrijednošću diskriminanta, originalna jednačina će imati samo jedan korijen, određen formulom x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

odgovor: x = 3,5.

Primjer 8

Jednačinu treba riješiti 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Rješenje

Numerički koeficijenti ove jednačine će biti: a = 5, b = 6 i c = 2. Koristimo ove vrijednosti za pronalaženje diskriminanta: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Izračunati diskriminant je negativan, tako da originalna kvadratna jednadžba nema pravi korijen.

U slučaju kada je zadatak naznačiti kompleksne korijene, primjenjujemo formulu korijena, izvodeći radnje sa kompleksnim brojevima:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 ili x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i ili x = - 3 5 - 1 5 · i.

odgovor: nema pravih korena; kompleksni korijeni su sljedeći: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

U školskom planu i programu ne postoji standardni zahtjev da se traže kompleksni korijeni, stoga, ako se prilikom rješavanja utvrdi da je diskriminanta negativna, odmah se zapisuje odgovor da nema pravih korijena.

Formula korijena za parne druge koeficijente

Korijenska formula x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) omogućava da se dobije još jedna formula, kompaktnija, koja omogućava pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi s parnim koeficijentom za x ( ili sa koeficijentom oblika 2 · n, na primjer, 2 3 ili 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Hajde da pokažemo kako je ova formula izvedena.

Suočimo se sa zadatkom da pronađemo rješenje kvadratne jednačine a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Nastavljamo prema algoritmu: određujemo diskriminanta D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), a zatim koristimo formulu korijena:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Neka izraz n 2 − a · c bude označen kao D 1 (ponekad se označava kao D"). Tada će formula za korijene kvadratne jednadžbe koja se razmatra sa drugim koeficijentom 2 · n poprimiti oblik:

x = - n ± D 1 a, gdje je D 1 = n 2 − a · c.

Lako je vidjeti da je D = 4 · D 1, ili D 1 = D 4. Drugim riječima, D 1 je četvrtina diskriminanta. Očigledno je da je predznak D 1 isti kao i znak D, što znači da znak D 1 može poslužiti i kao indikator prisustva ili odsustva korijena kvadratne jednačine.

Definicija 11

Dakle, da bismo pronašli rješenje kvadratne jednadžbe sa drugim koeficijentom od 2 n, potrebno je:

• naći D 1 = n 2 − a · c ;
• na D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kada je D 1 = 0, odrediti jedini korijen jednadžbe koristeći formulu x = - n a;
• za D 1 > 0, odrediti dva realna korijena koristeći formulu x = - n ± D 1 a.

Primjer 9

Potrebno je riješiti kvadratnu jednačinu 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Rješenje

Drugi koeficijent date jednačine možemo predstaviti kao 2 · (− 3) . Zatim prepisujemo datu kvadratnu jednačinu kao 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, gdje je a = 5, n = − 3 i c = − 32.

Izračunajmo četvrti dio diskriminanta: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Rezultirajuća vrijednost je pozitivna, što znači da jednačina ima dva realna korijena. Odredimo ih pomoću odgovarajuće formule korijena:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ili x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ili x = - 2

Bilo bi moguće izvršiti proračune koristeći uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali bi u ovom slučaju rješenje bilo glomaznije.

odgovor: x = 3 1 5 ili x = - 2 .

Pojednostavljivanje oblika kvadratnih jednačina

Ponekad je moguće optimizirati oblik originalne jednadžbe, što će pojednostaviti proces izračunavanja korijena.

Na primjer, kvadratnu jednadžbu 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 je očigledno pogodnije za rješavanje od 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Češće se pojednostavljivanje oblika kvadratne jednadžbe vrši množenjem ili dijeljenjem obje strane određenim brojem. Na primjer, gore smo prikazali pojednostavljeni prikaz jednačine 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, dobivenu dijeljenjem obje strane sa 100.

Takva transformacija je moguća kada koeficijenti kvadratne jednadžbe nisu međusobno prosti brojevi. Tada obično dijelimo obje strane jednadžbe najvećim zajedničkim djeliteljem apsolutnih vrijednosti njenih koeficijenata.

Kao primjer koristimo kvadratnu jednačinu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Odredimo GCD apsolutnih vrijednosti njegovih koeficijenata: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Podijelimo obje strane originalne kvadratne jednadžbe sa 6 i dobijemo ekvivalentnu kvadratnu jednačinu 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Množenjem obje strane kvadratne jednadžbe obično se oslobađate razlomaka koeficijenata. U ovom slučaju, oni se množe sa najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se svaki dio kvadratne jednadžbe 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 pomnoži sa LCM (6, 3, 1) = 6, tada će biti napisan u jednostavnijem obliku x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Konačno, napominjemo da se minusa na prvom koeficijentu kvadratne jednačine gotovo uvijek rješavamo promjenom predznaka svakog člana jednačine, što se postiže množenjem (ili dijeljenjem) obje strane sa −1. Na primjer, iz kvadratne jednadžbe − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, možete preći na njenu pojednostavljenu verziju 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Odnos između korijena i koeficijenata

Formula za korijene kvadratnih jednadžbi, koja nam je već poznata, x = - b ± D 2 · a, izražava korijene jednadžbe kroz njene numeričke koeficijente. Na osnovu ove formule, imamo priliku specificirati druge zavisnosti između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i najprimenljivije su formule Vietine teoreme:

x 1 + x 2 = - b a i x 2 = c a.

Konkretno, za datu kvadratnu jednačinu, zbir korijena je drugi koeficijent suprotnog predznaka, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu. Na primjer, gledajući oblik kvadratne jednadžbe 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, moguće je odmah utvrditi da je zbir njenih korijena 7 3, a proizvod korijena 22 3.

Također možete pronaći niz drugih veza između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, zbir kvadrata korijena kvadratne jednadžbe može se izraziti u vidu koeficijenata:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Bibliografski opis: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metode za rješavanje kvadratnih jednačina // Mladi naučnik. 2016. br. 6.1. str. 17-20..02.2019.).



Naš projekt je o načinima rješavanja kvadratnih jednadžbi. Cilj projekta: naučiti rješavati kvadratne jednačine na načine koji nisu uključeni u školski program. Zadatak: pronađite sve moguće načine rješavanja kvadratnih jednadžbi i naučite kako ih sami koristiti i upoznajte svoje kolege iz razreda s ovim metodama.

Šta su „kvadratne jednačine“?

Kvadratna jednadžba- jednačina oblika sjekira2 + bx + c = 0, Gdje a, b, c- neki brojevi ( a ≠ 0), x- nepoznato.

Brojevi a, b, c nazivaju se koeficijenti kvadratne jednačine.

• a se naziva prvi koeficijent;
• b se naziva drugi koeficijent;
• c - slobodan član.

Ko je prvi "izmislio" kvadratne jednačine?

Neke algebarske tehnike za rješavanje linearnih i kvadratnih jednačina bile su poznate prije 4000 godina u starom Babilonu. Otkriće drevnih babilonskih glinenih ploča, koje datiraju negdje između 1800. i 1600. godine prije Krista, pruža najranije dokaze o proučavanju kvadratnih jednačina. Iste tablete sadrže metode za rješavanje određenih vrsta kvadratnih jednadžbi.

Potreba za rješavanjem jednačina ne samo prvog, već i drugog stepena, još u antičko doba, bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje površina zemljišnih parcela i iskopnih radova vojnog karaktera, kao i kao i sa razvojem same astronomije i matematike.

Pravilo za rješavanje ovih jednačina, postavljeno u babilonskim tekstovima, u suštini se poklapa sa savremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do ovog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinopisni tekstovi daju samo probleme s rješenjima izloženim u obliku recepata, bez naznaka kako su pronađeni. Uprkos visokom nivou razvoja algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i opšte metode za rešavanje kvadratnih jednačina.

Babilonski matematičari iz otprilike 4. veka p.n.e. koristio je metodu komplementa kvadrata za rješavanje jednadžbi s pozitivnim korijenima. Oko 300. pne Euklid je došao do općenitije metode geometrijskog rješenja. Prvi matematičar koji je pronašao rješenja jednadžbi s negativnim korijenima u obliku algebarske formule bio je indijski naučnik Brahmagupta(Indija, 7. vek nove ere).

Brahmagupta je postavio opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik:

ax2 + bx = c, a>0

Koeficijenti u ovoj jednačini također mogu biti negativni. Brahmaguptino pravilo je u suštini isto kao i naše.

Javni konkursi u rješavanju teških problema bili su uobičajeni u Indiji. Jedna od starih indijskih knjiga o takvim takmičenjima kaže sljedeće: „Kao što sunce obasjava zvijezde svojim sjajem, tako će učen čovjek zasjeniti svoju slavu na javnim skupovima predlažući i rješavajući algebarske probleme.” Problemi su često predstavljani u poetskom obliku.

U algebarskoj raspravi Al-Khwarizmi data je klasifikacija linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor broji 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način:

1) „Kvadrati su jednaki korijenima“, tj. ax2 = bx.

2) „Kvadrati su jednaki brojevima“, tj. ax2 = c.

3) “Korijeni su jednaki broju”, tj. ax2 = c.

4) „Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima“, tj. ax2 + c = bx.

5) „Kvadrati i korijeni su jednaki broju“, tj. ax2 + bx = c.

6) „Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima“, tj. bx + c == ax2.

Za Al-Khwarizmija, koji je izbjegao upotrebu negativnih brojeva, članovi svake od ovih jednačina su sabirci, a ne oduzimajući. U ovom slučaju se očito ne uzimaju u obzir jednačine koje nemaju pozitivna rješenja. Autor postavlja metode za rješavanje ovih jednačina koristeći tehnike al-jabr i al-mukabal. Njegova odluka se, naravno, ne poklapa u potpunosti s našom. Da ne spominjemo da je to čisto retoričko, treba napomenuti, na primjer, da Al-Khorezmi, kao i svi matematičari do 17. stoljeća, prilikom rješavanja nepotpune kvadratne jednačine prvog tipa, ne uzima u obzir nulto rješenje, vjerovatno zato što u konkretnoj praksi to nije bitno u zadacima. Kada rješava potpune kvadratne jednadžbe, Al-Khwarizmi postavlja pravila za njihovo rješavanje koristeći određene numeričke primjere, a zatim i njihove geometrijske dokaze.

Forme za rješavanje kvadratnih jednačina po modelu Al-Khwarizmija u Evropi su prvi put izložene u "Knjizi Abakusa", napisanoj 1202. godine. italijanski matematičar Leonard Fibonacci. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva.

Ova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi problemi iz ove knjige korišćeni su u gotovo svim evropskim udžbenicima 14.-17. Opšte pravilo za rješavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik x2 + bh = s za sve moguće kombinacije predznaka i koeficijenata b, c formulisano je u Evropi 1544. godine. M. Stiefel.

Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u općem obliku dostupno je od Viètea, ali Viète je prepoznao samo pozitivne korijene. italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli među prvima u 16. veku. Osim pozitivnih, u obzir se uzimaju i negativni korijeni. Tek u 17. veku. zahvaljujući naporima Girard, Descartes, Newton i drugih naučnika, metoda rješavanja kvadratnih jednačina poprima moderan oblik.

Pogledajmo nekoliko načina rješavanja kvadratnih jednadžbi.

Standardne metode za rješavanje kvadratnih jednačina iz školskog programa:

1. Faktoriranje lijeve strane jednačine.
2. Metoda za odabir cijelog kvadrata.
3. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću formule.
4. Grafičko rješenje kvadratne jednadžbe.
5. Rješavanje jednadžbi pomoću Vietine teoreme.

Zaustavimo se detaljnije na rješenju reduciranih i nereduciranih kvadratnih jednadžbi koristeći Vietin teorem.

Podsjetimo da je za rješavanje gornje kvadratne jednadžbe dovoljno pronaći dva broja čiji je proizvod jednak slobodnom članu, a čiji je zbir jednak drugom koeficijentu suprotnog predznaka.

Primjer.x 2 -5x+6=0

Morate pronaći brojeve čiji je proizvod 6, a zbir 5. Ovi brojevi će biti 3 i 2.

Odgovor: x 1 =2, x 2 =3.

Ali ovu metodu možete koristiti i za jednačine s prvim koeficijentom koji nije jednak jedan.

Primjer.3x 2 +2x-5=0

Uzmite prvi koeficijent i pomnožite ga slobodnim članom: x 2 +2x-15=0

Korijeni ove jednadžbe bit će brojevi čiji je proizvod jednak -15, a zbir jednak -2. Ovi brojevi su 5 i 3. Da biste pronašli korijene originalne jednačine, podijelite rezultirajuće korijene s prvim koeficijentom.

Odgovor: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Rješavanje jednadžbi metodom "baci".

Razmotrimo kvadratnu jednačinu ax 2 + bx + c = 0, gdje je a≠0.

Množenjem obe strane sa a dobijamo jednačinu a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Neka je ax = y, odakle je x = y/a; tada dolazimo do jednačine y 2 + by + ac = 0, ekvivalentne datoj. Njegove korijene za 1 i 2 nalazimo koristeći Vietin teorem.

Konačno dobijamo x 1 = y 1 /a i x 2 = y 2 /a.

Kod ove metode koeficijent a se množi slobodnim terminom, kao da mu je „bačen“, zbog čega se naziva „metoda bacanja“. Ova metoda se koristi kada se korijeni jednadžbe mogu lako pronaći pomoću Vietine teoreme i, što je najvažnije, kada je diskriminanta tačan kvadrat.

Primjer.2x 2 - 11x + 15 = 0.

“Bacimo” koeficijent 2 na slobodni član i izvršimo zamjenu i dobijemo jednačinu y 2 - 11y + 30 = 0.

Prema Vietinoj inverznoj teoremi

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5 y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Odgovor: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Svojstva koeficijenata kvadratne jednačine.

Neka je data kvadratna jednačina ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Ako je a+ b + c = 0 (tj. zbir koeficijenata jednačine je nula), tada je x 1 = 1.

2. Ako je a - b + c = 0, ili b = a + c, onda je x 1 = - 1.

Primjer.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Pošto je a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), onda je x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Odgovor: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Primjer.132x 2 + 247x + 115 = 0

Jer a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), zatim x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Odgovor: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Postoje i druga svojstva koeficijenata kvadratne jednačine. ali je njihova upotreba složenija.

8. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću nomograma.

Slika 1. Nomogram

Ovo je stara i trenutno zaboravljena metoda rješavanja kvadratnih jednačina, smještena na str. 83 zbirke: Bradis V.M. Matematičke tabele sa četiri cifre. - M., Prosveta, 1990.

Tabela XXII. Nomogram za rješavanje jednačine z 2 + pz + q = 0. Ovaj nomogram omogućava, bez rješavanja kvadratne jednačine, da se iz njenih koeficijenata odrede korijeni jednadžbe.

Krivolinijska skala nomograma se gradi prema formulama (slika 1):

Believing OS = p, ED = q, OE = a(sve u cm), sa Sl. 1 sličnosti trouglova SAN I CDF dobijamo proporciju

što, nakon zamjena i pojednostavljenja, daje jednačinu z 2 + pz + q = 0, i pismo z označava oznaku bilo koje tačke na zakrivljenoj skali.

Rice. 2 Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću nomograma

Primjeri.

1) Za jednačinu z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram daje korijene z 1 = 8,0 i z 2 = 1,0

Odgovor:8.0; 1.0.

2) Pomoću nomograma rješavamo jednačinu

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Podelite koeficijente ove jednačine sa 2, dobijamo jednačinu z 2 - 4.5z + 1 = 0.

Nomogram daje korijene z 1 = 4 i z 2 = 0,5.

Odgovor: 4; 0.5.

9. Geometrijska metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Primjer.X 2 + 10x = 39.

U originalu je ovaj problem formuliran na sljedeći način: "Kvadrat i deset korijena jednaki su 39."

Posmatrajmo kvadrat sa stranicom x, na njegovim stranicama su konstruirani pravokutnici tako da je druga strana svakog od njih 2,5, pa je površina svakog 2,5x. Rezultirajuća figura se zatim dopunjava novom kvadratu ABCD, gradeći četiri jednaka kvadrata u uglovima, stranica svakog od njih je 2,5, a površina 6,25

Rice. 3 Grafička metoda za rješavanje jednačine x 2 + 10x = 39

Površina S kvadrata ABCD može se predstaviti kao zbir površina: prvobitnog kvadrata x 2, četiri pravougaonika (4∙2,5x = 10x) i četiri dodatna kvadrata (6,25∙4 = 25), tj. S = x 2 + 10x = 25. Zamenivši x 2 + 10x brojem 39, dobijamo da je S = 39 + 25 = 64, što znači da je stranica kvadrata ABCD, tj. segment AB = 8. Za traženu stranu x originalnog kvadrata dobijamo

10. Rješavanje jednadžbi pomoću Bezoutove teoreme.

Bezoutova teorema. Ostatak dijeljenja polinoma P(x) sa binomom x - α jednak je P(α) (to jest, vrijednost P(x) na x = α).

Ako je broj α korijen polinoma P(x), tada je ovaj polinom djeljiv sa x -α bez ostatka.

Primjer.x²-4x+3=0

R(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Podijelite P(x) sa (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, ili x-3=0, x=3; Odgovor: x1 =2, x2 =3.

zaključak: Sposobnost brzog i racionalnog rješavanja kvadratnih jednačina je od suštinskog značaja za rješavanje složenijih jednačina, kao što su razlomke racionalnih jednačina, jednadžbe veće snage, bikvadratne jednačine i, u srednjoj školi, trigonometrijske, eksponencijalne i logaritamske jednačine. Nakon što smo proučili sve pronađene metode za rješavanje kvadratnih jednadžbi, možemo savjetovati kolegama iz razreda da, pored standardnih metoda, rješavaju metodom prijenosa (6) i rješavaju jednadžbe koristeći svojstvo koeficijenata (7), jer su pristupačnije do razumevanja.

književnost:

1. Bradis V.M. Matematičke tabele sa četiri cifre. - M., Prosveta, 1990.
2. Algebra 8. razred: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije Makarychev Yu N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15. izd., revidirano. - M.: Obrazovanje, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Istorija matematike u školi. Priručnik za nastavnike. / Ed. V.N. Mlađi. - M.: Prosveta, 1964.

Samo. Prema formulama i jasnim, jednostavnim pravilima. U prvoj fazi

potrebno je datu jednačinu dovesti u standardni oblik, tj. na obrazac:

Ako vam je jednačina već data u ovom obliku, ne morate raditi prvu fazu. Najvažnije je da to uradite kako treba

odrediti sve koeficijente, A, b I c.

Formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe.

Izraz pod znakom korijena se zove diskriminatorno . Kao što vidite, da bismo pronašli X, mi

koristimo samo a, b i c. One. koeficijenti iz kvadratna jednačina. Samo ga pažljivo postavite

vrijednosti a, b i c Računamo u ovoj formuli. Zamjenjujemo sa njihov znakovi!

Na primjer, u jednadžbi:

A =1; b = 3; c = -4.

Zamjenjujemo vrijednosti i pišemo:

Primjer je skoro riješen:

Ovo je odgovor.

Najčešće greške su zabuna sa vrijednostima znakova a, b I With. Ili bolje rečeno, sa zamjenom

negativne vrijednosti u formulu za izračunavanje korijena. Ovdje u pomoć dolazi detaljan snimak formule

sa određenim brojevima. Ako imate problema sa proračunima, uradite to!

Pretpostavimo da trebamo riješiti sljedeći primjer:

Evo a = -6; b = -5; c = -1

Sve opisujemo detaljno, pažljivo, ne propuštajući ništa sa svim znakovima i zagradama:

Kvadratne jednadžbe često izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:

Sada uzmite u obzir praktične tehnike koje dramatično smanjuju broj grešaka.

Prvi sastanak. Ne budi lijen prije rješavanje kvadratne jednačine dovesti ga u standardni oblik.

Šta to znači?

Recimo da nakon svih transformacija dobijete sljedeću jednačinu:

Nemojte žuriti s pisanjem korijenske formule! Gotovo sigurno ćete pomiješati šanse a, b i c.

Konstruirajte primjer ispravno. Prvo, X na kvadrat, zatim bez kvadrata, zatim slobodni član. Volim ovo:

Riješite se minusa. Kako? Moramo pomnožiti cijelu jednačinu sa -1. Dobijamo:

Ali sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminanta i završiti rješavanje primjera.

Odlučite sami. Sada bi trebali imati korijene 2 i -1.

Prijem drugi. Provjerite korijene! By Vietin teorem.

Za rješavanje datih kvadratnih jednadžbi, tj. ako je koeficijent

x 2 +bx+c=0,

Ondax 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−b

Za potpunu kvadratnu jednačinu u kojoj a≠1:

x 2 +bx+c=0,

podijelite cijelu jednačinu sa O:

→ →

Gdje x 1 I x 2 - korijeni jednadžbe.

Prijem treći. Ako vaša jednadžba ima koeficijente razlomaka, riješite se razlomaka! Pomnožite

jednadžba sa zajedničkim nazivnikom.

Zaključak. Praktični savjeti:

1. Prije rješavanja, dovodimo kvadratnu jednačinu u standardni oblik i gradimo je U redu.

2. Ako postoji negativan koeficijent ispred X na kvadrat, eliminišemo ga množenjem svega

jednačine za -1.

3. Ako su koeficijenti razlomki, eliminiramo razlomke množenjem cijele jednačine odgovarajućim

faktor.

4. Ako je x na kvadrat čist, njegov koeficijent je jednak jedan, rješenje se lako može provjeriti pomoću

Na jednostavniji način. Da biste to učinili, stavite z iz zagrada. Dobićete: z(az + b) = 0. Faktori se mogu napisati: z=0 i az + b = 0, pošto oba mogu rezultirati nulom. U zapisu az + b = 0, drugu pomjerimo udesno s drugim predznakom. Odavde dobijamo z1 = 0 i z2 = -b/a. Ovo su korijeni originala.

Ako postoji nepotpuna jednačina oblika az² + c = 0, u ovom slučaju oni se nalaze jednostavnim pomicanjem slobodnog člana na desnu stranu jednačine. Takođe promenite njen znak. Rezultat će biti az² = -s. Izraziti z² = -c/a. Uzmite korijen i zapišite dva rješenja - pozitivan i negativan kvadratni korijen.

Bilješka

Ako u jednačini postoje razlomci, pomnožite cijelu jednačinu odgovarajućim faktorom kako biste se riješili razlomaka.

Znanje o rješavanju kvadratnih jednačina je neophodno i za školarce i za studente, ponekad i odrasloj osobi može pomoći u svakodnevnom životu. Postoji nekoliko specifičnih metoda rješenja.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi

Kvadratna jednadžba oblika a*x^2+b*x+c=0. Koeficijent x je željena varijabla, a, b, c su numerički koeficijenti. Zapamtite da se znak “+” može promijeniti u znak “-”.

Za rješavanje ove jednadžbe potrebno je koristiti Vietin teorem ili pronaći diskriminanta. Najčešća metoda je pronalaženje diskriminanta, jer za neke vrijednosti a, b, c nije moguće koristiti Vietin teorem.

Da biste pronašli diskriminanta (D), morate napisati formulu D=b^2 - 4*a*c. Vrijednost D može biti veća, manja ili jednaka nuli. Ako je D veći ili manji od nule, tada će postojati dva korijena, ako je D = 0, tada ostaje samo jedan korijen, točnije možemo reći da D u ovom slučaju ima dva ekvivalentna korijena. Zamijenite poznate koeficijente a, b, c u formulu i izračunajte vrijednost.

Nakon što ste pronašli diskriminanta, koristite formule da pronađete x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, gdje je sqrt funkcija koja znači uzimanje kvadratnog korijena datog broja. Nakon izračunavanja ovih izraza, naći ćete dva korijena vaše jednadžbe, nakon čega se jednačina smatra riješenom.

Ako je D manji od nule, onda i dalje ima korijene. Ovaj dio se praktično ne uči u školi. Studenti bi trebali biti svjesni da se ispod korijena pojavljuje negativan broj. Oslobode ga se isticanjem imaginarnog dijela, odnosno -1 ispod korijena uvijek je jednako imaginarnom elementu "i", koji se množi s korijenom s istim pozitivnim brojem. Na primjer, ako je D=sqrt(-20), nakon transformacije dobijamo D=sqrt(20)*i. Nakon ove transformacije, rješavanje jednadžbe se svodi na isti nalaz korijena kao što je gore opisano.

Vietin teorem se sastoji od odabira vrijednosti x(1) i x(2). Koriste se dvije identične jednačine: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Štaviše, veoma važna tačka je znak ispred koeficijenta b, zapamtite da je ovaj znak suprotan onom u jednačini. Na prvi pogled se čini da je izračunavanje x(1) i x(2) vrlo jednostavno, ali pri rješavanju ćete se suočiti s činjenicom da ćete morati odabrati brojeve.

Elementi rješavanja kvadratnih jednačina

Prema pravilima matematike, neki se mogu faktorizirati: (a+x(1))*(b-x(2))=0, ako ste uspjeli transformirati ovu kvadratnu jednačinu na sličan način koristeći matematičke formule, onda slobodno zapišite odgovor. x(1) i x(2) će biti jednaki susednim koeficijentima u zagradama, ali sa suprotnim predznakom.

Također, ne zaboravite na nepotpune kvadratne jednadžbe. Možda vam nedostaju neki od pojmova, ako je tako, onda su svi njegovi koeficijenti jednostavno jednaki nuli. Ako nema ništa ispred x^2 ili x, tada su koeficijenti a i b jednaki 1.

Kvadratne jednadžbe se često pojavljuju prilikom rješavanja različitih problema iz fizike i matematike. U ovom članku ćemo pogledati kako riješiti ove jednakosti na univerzalan način „preko diskriminanta“. U članku su dati i primjeri korištenja stečenog znanja.

O kojim jednačinama ćemo govoriti?

Na slici ispod prikazana je formula u kojoj je x nepoznata varijabla, a latinski simboli a, b, c predstavljaju neke poznate brojeve.

Svaki od ovih simbola naziva se koeficijent. Kao što vidite, broj "a" se pojavljuje ispred varijable x na kvadrat. Ovo je maksimalna snaga predstavljenog izraza, zbog čega se naziva kvadratna jednačina. Često se koristi i njen drugi naziv: jednačina drugog reda. Sama vrijednost a je kvadratni koeficijent (koji stoji s promjenljivom na kvadrat), b je linearni koeficijent (nalazi se pored varijable podignute na prvi stepen), i konačno, broj c je slobodni član.

Imajte na umu da je tip jednadžbe prikazan na gornjoj slici opći klasični kvadratni izraz. Pored nje, postoje i druge jednačine drugog reda u kojima koeficijenti b i c mogu biti nula.

Kada se postavi zadatak za rješavanje predmetne jednakosti, to znači da je potrebno pronaći takve vrijednosti varijable x koje bi je zadovoljile. Ovdje prva stvar koju trebate zapamtiti je sljedeća stvar: pošto je maksimalni stepen X 2, onda ova vrsta izraza ne može imati više od 2 rješenja. To znači da ako se prilikom rješavanja jednadžbe nađu 2 vrijednosti x koje ga zadovoljavaju, onda možete biti sigurni da ne postoji treći broj, zamjenjujući ga za x, jednakost bi također bila istinita. Rješenja jednadžbe u matematici nazivaju se njezinim korijenima.

Metode rješavanja jednačina drugog reda

Rješavanje jednadžbi ovog tipa zahtijeva poznavanje neke teorije o njima. U školskom kursu algebre razmatraju se 4 različite metode rješavanja. Nabrojimo ih:

• korištenje faktorizacije;
• korištenje formule za savršen kvadrat;
• primjenom grafa odgovarajuće kvadratne funkcije;
• koristeći diskriminantnu jednačinu.

Prednost prve metode je njena jednostavnost, međutim, ne može se koristiti za sve jednačine. Druga metoda je univerzalna, ali pomalo glomazna. Treća metoda se odlikuje jasnoćom, ali nije uvijek prikladna i primjenjiva. I konačno, korištenje diskriminantne jednadžbe je univerzalan i prilično jednostavan način za pronalaženje korijena apsolutno bilo koje jednačine drugog reda. Stoga ćemo u članku razmotriti samo to.

Formula za dobivanje korijena jednadžbe

Okrenimo se opštem obliku kvadratne jednačine. Zapišimo to: a*x²+ b*x + c =0. Prije korištenja metode rješavanja „preko diskriminanta“, uvijek treba jednakost dovesti u njenu pisanu formu. To jest, mora se sastojati od tri člana (ili manje ako je b ili c 0).

Na primjer, ako postoji izraz: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², tada biste prvo trebali premjestiti sve njegove članove na jednu stranu jednakosti i dodati članove koji sadrže varijablu x u iste ovlasti.

U ovom slučaju, ova operacija će dovesti do sljedećeg izraza: -6*x²-4*x+8=0, što je ekvivalentno jednačini 6*x²+4*x-8=0 (ovdje smo pomnožili lijevo i desne strane jednakosti sa -1) .

U gornjem primjeru, a = 6, b=4, c=-8. Imajte na umu da se svi članovi razmatrane jednakosti uvijek zbrajaju, pa ako se pojavi znak “-”, to znači da je odgovarajući koeficijent negativan, kao u ovom slučaju broj c.

Nakon što smo ispitali ovu tačku, prijeđimo sada na samu formulu, koja omogućava dobivanje korijena kvadratne jednadžbe. Izgleda kao na slici ispod.

Kao što se može vidjeti iz ovog izraza, on vam omogućava da dobijete dva korijena (obratite pažnju na znak "±"). Da biste to učinili, dovoljno je u njega zamijeniti koeficijente b, c i a.

Koncept diskriminatora

U prethodnom pasusu data je formula koja vam omogućava brzo rješavanje bilo koje jednačine drugog reda. U njemu se radikalni izraz naziva diskriminantom, odnosno D = b²-4*a*c.

Zašto je ovaj dio formule istaknut i zašto uopće ima svoje ime? Činjenica je da diskriminanta povezuje sva tri koeficijenta jednačine u jedan izraz. Posljednja činjenica znači da u potpunosti nosi informacije o korijenima, što se može izraziti u sljedećoj listi:

1. D>0: Jednakost ima 2 različita rješenja, od kojih su oba realni brojevi.
2. D=0: Jednačina ima samo jedan korijen, i to je realan broj.

Zadatak diskriminantnog određivanja

Dajemo jednostavan primjer kako pronaći diskriminant. Neka je data sljedeća jednakost: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Dovedemo to u standardni oblik, dobijamo: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, iz čega dolazimo do jednakosti : -2*x² +2*x-11 = 0. Ovdje je a=-2, b=2, c=-11.

Sada možete koristiti gornju formulu za diskriminanta: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Dobiveni broj je odgovor na zadatak. Budući da je diskriminant u primjeru manji od nule, možemo reći da ova kvadratna jednadžba nema pravi korijen. Njegovo rješenje će biti samo brojevi složenog tipa.

Primjer nejednakosti kroz diskriminant

Hajde da riješimo probleme malo drugačijeg tipa: s obzirom na jednakost -3*x²-6*x+c = 0. Potrebno je pronaći vrijednosti c za koje je D>0.

U ovom slučaju su poznata samo 2 od 3 koeficijenta, tako da nije moguće izračunati tačnu vrijednost diskriminanta, ali se zna da je ona pozitivna. Zadnju činjenicu koristimo pri sastavljanju nejednakosti: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Rješavanje rezultirajuće nejednakosti dovodi do rezultata: c>-3.

Provjerimo rezultirajući broj. Da bismo to učinili, izračunavamo D za 2 slučaja: c=-2 i c=-4. Broj -2 zadovoljava dobijeni rezultat (-2>-3), odgovarajući diskriminant će imati vrijednost: D = 12>0. Zauzvrat, broj -4 ne zadovoljava nejednakost (-4. Dakle, svi brojevi c koji su veći od -3 će zadovoljiti uslov.

Primjer rješavanja jednadžbe

Predstavimo problem koji uključuje ne samo pronalaženje diskriminanta, već i rješavanje jednačine. Potrebno je pronaći korijene za jednakost -2*x²+7-9*x = 0.

U ovom primjeru diskriminanta je jednaka sljedećoj vrijednosti: D = 81-4*(-2)*7= 137. Tada se korijeni jednačine određuju na sljedeći način: x = (9±√137)/(- 4). Ovo su tačne vrijednosti korijena, ako približno izračunate korijen, onda ćete dobiti brojeve: x = -5,176 i x = 0,676.

Geometrijski problem

Hajde da riješimo problem koji će zahtijevati ne samo sposobnost izračunavanja diskriminanta, već i korištenje vještina apstraktnog razmišljanja i znanja o tome kako napisati kvadratne jednačine.

Bob je imao jorgan 5 x 4 metra. Dječak je želio da na njega prišije neprekidnu traku lijepe tkanine po cijelom perimetru. Koliko će ova traka biti debela ako znamo da Bob ima 10 m² tkanine.

Neka traka ima debljinu od x m, tada će površina tkanine duž dugačke strane pokrivača biti (5+2*x)*x, a pošto postoje 2 dugačke strane, imamo: 2*x *(5+2*x). Na kratkoj strani, površina ušivenog platna će biti 4*x, pošto postoje 2 ove strane, dobijamo vrijednost 8*x. Imajte na umu da je vrijednost 2*x dodana dugoj strani jer se dužina pokrivača povećala za taj broj. Ukupna površina tkanine ušivene na ćebe je 10 m². Dakle, dobijamo jednakost: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Za ovaj primjer, diskriminanta je jednaka: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Njegov korijen je 22. Koristeći formulu, nalazimo tražene korijene: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Očigledno je da je od dva korijena samo broj 0,5 prikladan prema uslovima problema.

Tako će traka tkanine koju Bob prišije na svoje ćebe biti široka 50 cm.