Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
Как мы используем вашу персональную информацию:
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
Как мы используем вашу персональную информацию:
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
МБОУ « Мордовско-Паёвская СОШ» Инсарского района РМ
Выполнила: Пантилейкина Надежда,
ученица 11 класса
Руководитель: Кадышкина Н.В.,
учитель математики
Оглавление
Введение…………………………………………………………………………….
Глава I. О тригонометрических уравнениях…………………………………..…5
1) Основные типы тригонометрических уравнениях и методы их решения:
1. Уравнения, сводящиеся к простейшим. …………………………………..5
2. Уравнения, сводящиеся к квадратным…………………………………….5
3. Однородные уравнения acosx + b sin x = 0………………………………...6
4.Уравнения вида acosx + b sin x = c , с≠ 0…………………………………7
5. Уравнения, решаемые разложением на множители…………………...….7
6. Нестандартные уравнения………………………………………………….8
Глава II. Основные понятия и формулы тригонометрии…………………….8-10
Глава III . Уравнения предлагавшиеся на ЕГЭ прошлых лет…………...……10-14
Заключение………………………………………………………………………….14
Приложение……………………………………………..……………………….15-17
Литература…………………………………………………………………………..18
Введение
«Единственный путь, ведущий к знаниям - это деятельность...»
Бернард Шоу
Актуальность работы.
Через несколько месяцев я заканчиваю школу.
Чтобы не было проблем с дальнейшим выбором жизненного пути, необходимо получить школьный аттестат, а для того чтобы получить школьный аттестат, необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ - и один из них математика . Что уж там говорить, выпускные экзамены - ответственный период в жизни любого школьника, от которого зависит не только итоговая оценка в аттестате, но и его профессиональное будущее, доход и карьера.
Единый Государственный Экзамен – это важный тест перед переходом в новую жизнь и поступлением в университет или колледж. Особенно важно сдать его на хорошие баллы. ЕГЭ по математике - серьезное испытание и без хорошей базы ученик не сможет претендовать на приличный результат.
Как не допустить провала на экзамене и получить хорошие баллы? Для этого необходимо хорошо решить задания. Я не претендую на максимальный балл, тем не менее старательно готовлюсь. И заметила, что даже на первом задании части С, а, именно, на решении тригонометрических уравнениях и их системах допускаю ошибки. На первый взгляд, задача С1 – это относительно несложное уравнение или система уравнений, которое может содержать тригонометрические функции, одним из основных подходов к решению которых состоит в их последовательном упрощении с целью сведения к одному или нескольким простейшим. Так почему я ошибаюсь?
Актуальность темы определяется тем, что учащиеся должны разбираться в тех или иных способах решения тригонометрических уравнений.
Поэтому, перед собой я поставила следующую цель:
Систематизировать, расширить знания и умения, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений.
Объектом исследования является изучение тригонометрических уравнений в заданиях ЕГЭ.
Предмет исследования - является решение тригонометрических уравнений
Таким образом, основной целью написания данной курсовой работы является изучение тригонометрических уравнений и их систем, способы их решения.
В соответствии с целями, объектом и предметом исследования определены следующие задачи:
1). Изучить все задания, связанные с решением тригонометрических уравнений, предлагавшиеся на ЕГЭ работ предыдущих лет и при выполнении диагностических работ;
2) Изучить методы решения тригонометрических уравнений.
3). Выявить основные возможные ошибки при решении таких уравнений;
4). Выяснить причину допущения таких ошибок.
6). Сделать выводы.
В своей работе я решу несколько тригонометрических уравнений, покажу возможные ошибки при их решении и постараюсь ответить на следующие вопросы:
1). Можно ли избежать ошибок при выполнении заданий типаС1
2) Если я буду тренироваться в решении уравнений такого типа, то я смогу
ли безошибочно выполнять такие задания?
Для этой цели я изучила все демонстрационные и тренировочные задания, проводимые с нами, материалы ЕГЭ предыдущих лет;
изучила справочные источники;
самостоятельно решала задания из Интернета;
консультировалась со своим учителем в случае затруднения;
училась анализировать и правильно оформлять результаты.
Глава I . О тригонометрических уравнениях.
1) Определение 1. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.
Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида sin x = a ,
cos x=a, tg x=a, ctg x = a.
В таких уравнениях переменная находится под знаком тригонометрической функции, а - данное число.
Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.
2)Основные типы тригонометрических уравнений.
Уравнения, сводящиеся к простейшим.
Решить уравнение
Решение:
Ответ:
Уравнения, сводящиеся к квадратным.
1) Решить уравнение 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.
Ответ:
Однородныеуравнения: asinx + bcosx = 0
a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0.
Решить уравнение 2sinx – 3cosx = 0
Решение: Пусть cosx = 0, тогда 2sinx = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем,
что sin 2 x + cos 2 x = 1. Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cosx.
Получим
Ответ:
Пример: Решить уравнение
Решение:
Ответ:
Уравнения, решаемые разложением на множители.
Припер: Решить уравнение sin2x – sinx = 0.
Решение: Используя формулу sin2x = 2sinxcosx, получим
2sinxcosx – sinx = 0,
sinx (2cosx – 1) = 0.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
Ответ:
Нестандартные уравнения.
Решить уравнение cosx = х 2 + 1.
Решение:
Рассмотрим функции
Глава II . Основные понятия и формулы тригонометрии.
Тригонометрические уравнения - обязательная тема любого экзамена по математике.
О х, сколько мучений доставляет ученикам изучение тригонометрии.
Определенные сложности возникают даже в том случае, если рядом учитель по математике и объясняет каждую мелочь. Это и понятно, одних только базовых формул существует более двадцати. А уж если считать их производные … Ученик путается в вычислениях и никак не может запомнить механизмы, при помощи которых эти формулы позволяют найти, например, .
Вы знаете формулы - вам легко решать. Не знаете - не поймете, даже если дадут формулу. Формулу нужно не просто тупо знать, а знать куда ее можно применить, как раскрыть и в чем суть формулы, а для этого вам нужно решать примеры именно для тех задач, которые даются с трудом.
Мне поначалу казалось, тригонометрия - это скучный набор формул и графиков. Однако, знакомясь с новыми понятиями тригонометрии и методами решения тригонометрических уравнений, каждый раз убеждалась, насколько интересен и увлекателен мир тригонометрии.
Во- первых, для успешного решения тригонометрических уравнений нужно хорошо знать тригонометрические формулы, причем не только основные, но и дополнительные (преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму, формулы понижения степени и другие), так как использование на ЕГЭ шпаргалок и мобильных телефонов запрещается
(Приложение1)
Во- вторых , мы должны четко знать стандартные формулы корней простейших тригонометрических уравнений (полезно помнить или уметь получать с помощью тригонометрической окружности упрощенные формулы для корней уравнений)
Каждое из таких уравнений решается по формулам, которые следует знать. Вот эти формулы:
а) Функция y = sin x . Функция ограниченная: находится в пределах [-1; 1]. Это значит, что при решении уравнений типа sinx =2 или sinx sinx
1) sinx =a, x= (-1) n arc sin a +n,nZ
2) sinx = - a, x= (-1) n+1 arc sin a +n,nZ
Также, нужно знать частные случаи:
1)
sinx
=- 1,
2)sinx
=0,
3)sinx
=
a
,
Также нужно уметь решение в виде двух серий корней
2. Функция y = cos x . Функция ограниченная: находится в пределах [-1; 1]. Это значит, что при решении уравнений типа cos x =2 или cos x =-5 в ответе получается: нет корней. Формулы для функции у= cos x :
1. cosx =a, X=± arccos a+2n,nZ
2. cos x=-a, X=±( - arccos a)+2n,nZ
Частные случаи: 1. cosx =-1, X = +2 n , nZ
2.
cosx =0,
3. cosx =1, X= 2n,nZ
3. Функция y = tg x .
Тут всего одна формула, без частных случаев: tg x = ± a .
х= ± arctg a+n,nZ
В-третьих, надо знать значения тригонометрических функций;
(Приложение 2)
В- четвёртых, Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).
V . Уравнения, предлагавшиеся на ЕГЭ прошлых лет.
«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели».
Лейбниц
1. Уравнения, сводящиеся к квадратному.
С1. Решить уравнение:
Решение: Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством,
перепишем уравнение в виде
Заменой
cos
=
t
уравнение сводится к квадратному:2
t
2
+ 9
t
-5 =0, которое имеет корни
t
1
= ½ и
t
2
= -5. Возвращаясь к переменной х, получим
,
Второе уравнение корней не имеет так как |cosx |≥1, а из первого x =±+6k ,kZ
Ответ: =±+6k ,kZ
Вывод:
вводя новую переменную, нужно учитывать, что значения sin
x
и cos
x
ограничены отрезком
, а иначе появятся посторонние корни.
2. Уравнения, решаемые разложением на множители
Задание С1 (2011 г.)
а) Решить уравнение
б) Указать корни уравнения, принадлежащие отрезку
Решение: а) решаем разложением левой части на множители:
группируем и выносим общий множитель за скобки, получим
Уравнение 1) решений не имеет.
Второе уравнение однородное, решается делением почленно на cosx
≠0, получим
, откуда
б)
Ответ: а)
б)
Вывод:
1.При решении уравнения такого вида, во – первых, нужно знать, что |sin х|≤1 и |cosx |≤1, и уравнение sinx =-2 решений не имеет;
2.Во – вторых, обосновать деление на cosx ≠о (так как, если cosx =0,то sin х=0 , а это невозможно;
в- третьих, обоснованно произвести отбор корней, принадлежащие данному промежутку
3
.Уравнение на применение формул приведения
С1 (2010 г.) Дано уравнение
а) решить уравнение;
б
) Указать корни, принадлежащие отрезку
Решение: Используя формулы приведения, получим:
sin 2 x – cos x =0,
2 sinx cosx- cosx =0,
сosx (2 sinx -1)=0, откуда cosx= 0 или sinx =½,
б) Найдем значения к, при которых корни будут принадлежать
указанному промежутку. Для того, чтобы выбрать корни. принадлежащие заданному промежутку, решение представим в виде:
б
) Найдем значения к, при которых корни будут принадлежать указанному промежутку
.
2)
Решая это неравенство, целого
значения к не получим.
Ответ: а)
б)
Вывод:
При решении уравнения такого вида, необходимо знать формулы приведенного уравнения и правильно её применить; уметь представлять решение
на две серии корней; правильно выбрать корни, принадлежащие заданному отрезку.
4. Системы тригонометрических уравнений
С1 (2010).
Решить систему уравнений
Решение: О.Д.З
Дробь равна нулю, если числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.
Из уравнения 2sin 2 x – 3 sinx +1 =0, решая методом введения новой переменной, находим
или sin
x
=1.
1)Пусть
, тогда
и у = cos
x
= ›0 (используя основное тригонометрическое тождество)
либо
и
- нет решения.
2) Пусть sinx = 1, тогда у = cos x = 0 – нет решения.
Ответ:
и у =
Вывод: 1) нужно учитывать ограниченность тригонометрических
функций
2) Записывать и учитывать О.Д.З.
5. С1 (ЕГЭ 2011 г.) Решить уравнение:
О.Д.З. – cos x ≥ 0, sin х ≤ 0.
4sin 2 x + 12 sinx + 5 = 0 или cos x =0
sinx = t
4 t 2 + 12 t + 5=0, откуда t 1 =-½ , t 2 = -
sinx = -½ sinx =- - не имеет решения
х =
х =
с учётом О.Д.З. х =
Ответ: х =
Вывод: Ответ записать с учётом О.Д.З.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В проделанной мною работе были изучены решения тригонометрических уравнений, рассмотрены рекомендации по решению тригонометрических уравнений, методы решения тригонометрических уравнений и рассмотрены ошибки, которые возможны при их решении.
Я пришла к следующим выводам:
1. Задания типа С1 проверяют умение решать тригонометрические уравнения. Эти задания являются, действительно, несложными, что придаёт лишнюю самоуверенность и усыпляют внимательность. Единственной сложностью этих заданий является то, что, решив уравнение или систему уравнений, отбросить посторонние корни.
2.
Задача С1 – это самая простая задача группы С. При ее решении не должны возникать громоздкие преобразования и сложные вычисления. Если же они появились – немедленно нужно остановиться, проверить решение и попробовать понять, что же здесь не так.
3. В конечном итоге, главное требование - решение должно быть математически грамотным, из него должен быть понятен ход рассуждений. Нужно постараться записать свое решение кратко и понятно, но главное – правильно!
4. И самое главное - чтобы научиться без ошибок решать уравнения, надо их решать! Ведь, как говорил Пойа, « Если хотите научиться плавать, то смело ныряйте в воду, а если хотите научиться решать задачи, надо их решать!»
Приложение 1 (основные формулы тригонометрии)
1) основное тригонометрическое тождество sin 2 α + cos 2 α= 1,
Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем
2)формулы двойного аргумента sin 2α =2 sin α cos α,
cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α ,
Cos 2α = 1- 2sin 2 α,
3)формулы понижения степени:
4) формулы суммы и разности двух аргументов:
sin (α+ β )= sin α cos β + cos α sin β
sin (α- β )= sin α cos β - cos α sin β
cos (α+ β )= cos α cos β + sin α sin β
cos (α- β )= sin α cos β + sin α sin β
5)Формулы приведения
Формулами приведения называются формулы следующего вида:
Суммы суммы и разности тригонометрических уравнений
Косинус- чётная, синус, тангенс и котангенс- , то есть:
Синус и косинус - . Тангенс и имеет
,котангенс 0; ±π; ±2π;…
Функции y = cos x , y = sin x -