В этой статье мы обсудим делители и кратные . Здесь мы дадим определения делителя и кратного числа. Эти определения нам позволят привести примеры делителей и кратных различных целых чисел. Отдельно рассмотрим делители единицы и минус единицы, а также поговорим о делителях и кратных нуля.

Навигация по странице.

Делители числа – определение, примеры

Сначала дадим определение делителя целого числа.

Определение.

Делителем целого числа a называется целое число b , на которое a делится нацело.

Натуральное число 1 имеет единственный положительный делитель – это число 1 . Этот факт отличает единицу от других натуральных чисел, так как натуральные числа, отличные от единицы, имеют не менее двух делителей, а именно себя самого и 1 . В зависимости от отсутствия или наличия делителей, отличных от самого натурального числа и от единицы, различают простые и составные числа .

Единица является наименьшим положительным делителем натурального числа a , отличного от 1 , а само число a является наибольшим положительным делителем (о наибольшем и наименьшем числе мы говорили в разделе ). То есть, для любого натурального числа a любой его положительный делитель b удовлетворяет условию .

Кратные числа – определение, примеры

Дадим определение кратного .

Определение.

Кратное целого числа b – это целое число a , которое делится на b нацело.

Иными словами, кратное целого числа b – это такое целое число a , которое может быть представлено в форме a=b·q , где q – некоторое целое число.

Если a является кратным целого числа b , то говорят, что a кратно b . При этом применяют обозначение ab .

Определение кратного и делимого явно указывает на существующую между ними связь. Действительно, по определению если a – кратное числа b , то b – делитель числа a , и наоборот, если b – делитель числа a , то a – кратное числа b .

Приведем примеры кратных . Например, целое число −12 есть кратное числа 3 , так как −12=3·(−4) . Другими кратными числа 3 являются целые числа 0 , 3 , −3 , 6 , −6 , 9 , −9 и так далее. А вот число 7 не является кратным целого числа 3 , так как 7 не делится на 3 без остатка, то есть, не существует такого целого числа q , чтобы выполнялось равенство 7=3·q .

Из определения кратного числа понятно, что нуль является кратным любого целого числа b , в том числе и нуля. Равенство 0=b·0 в этом случае выглядит очень доказательно.

Отметим, что существует бесконечно много кратных любого целого числа b , так как целых чисел бесконечно много, и любое целое число, равное произведению b·q , где q – произвольное целое число, является кратным числа b .

Наименьшим положительным кратным данного положительного числа a является само это число a . Здесь же стоит обратить внимание на то, что наименьшее положительное кратное не стоит путать с наименьшим общим кратным (НОК) нескольких чисел.

Дальше мы можем рассматривать лишь натуральные кратные целых положительных чисел. Это мы можем делать в силу тех же причин, которые были упомянуты в первом пункте этой статьи, при этом общность изложения не будет нарушена.

Список литературы.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Виноградов И.М. Основы теории чисел.
• Михелович Ш.Х. Теория чисел.
• Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Урок 1 : Группировка информации.

Цели:

• образовательная : научиться систематизировать полученную информацию, ввести основные понятия статистики: общий ряд данных, ряд данных, объём измерения, варианта измерения, кратность измерения, частота варианты, сгруппированный ряд данных. На конкретных примерах рассмотреть алгоритм нахождения указанных понятий;
• развивающая : развивать способность обобщать, замечать закономерности;
• воспитывающая : воспитывать внимание, аккуратность.

Оборудование: диск с презентацией.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания, актуализация ЗУН.

Несколько обучающихся у доски: вычислить:

В это время проверяем домашнее задание по готовым ответам или слайдам.

III. Объяснение нового материала.

Мы живём, влюбляясь и мечтая,
Падая и поднимаясь ввысь.
А статистика упрямая старается
В цифрах выразить всю нашу жизнь.
Всё-то эта статистика знает,
Кто рождается и умирает,
Сколько нефти в стране добывают,
Кто какие журналы читает.
Вот столько здоровых, а столько больных,
Вот столько-то умных, а столько иных,
Вот столько студентов, а столько рабочих –
Считает статистика днём нас и ночью.

Как вы уже догадались, тема нашего урока – статистика. Статистика – наука, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе.

Задача сегодняшнего урока – научиться группировать и частично анализировать имеющуюся у нас информацию.

Сейчас я предоставлю вам ваши оценки по алгебре за предыдущую контрольную работу. Не применяя никакой системы, я просто выписала данные из вашего журнала.

Не глядя на эти данные, ответьте, какие числа могут встретиться среди них? (наводящие вопросы: какая у нас система оценивания? (пятибалльная). Значит, какие отметки мы здесь можем увидеть? (1;2;3;4;5.)). В статистике цепочку данных, которая может встретиться среди измерений, называют общим рядом данных (открываю данные).

3 3 4 4 5 3
5 4 3 4 3 4
4 4 4 5 3 3
2 3 3 4 3 4 3.

Но теперь мы видим, что не все из указанных чисел здесь имеются, а только 2; 3; 4; 5. Числа, которые действительно встретились в нашей цепочке, называют рядом данных .

Глядя на эти данные, что мы можем сказать о вашей успеваемости? (варианты ответов).

Если не пытаться проанализировать данные, сказать мы можем очень мало. Но для анализа запись очень неудачна – в ней нет системы, нет закономерности. Какая запись, по-вашему, будет удачнее? (варианты ответов, останавливаемся на расположении в порядке возрастания).

2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5.

Такой порядок данных называют сгруппированным рядом данных.

Сколько у нас различных данных? (4).

Каждый результат называют вариантой измерения. Запомнить очень легко – один из вариантов, только женского рода.

(Записываем в тетрадь определение: Варианта измерения – один из результатов этого измерения ).

Так как количество данных невелико, мы уже сейчас можем сказать, что наибольшее число оценок составляют «тройки» и «четвёрки», наименьшее (слава Богу!) «двойки». Но на сколько? Таких расплывчатых данных явно недостаточно. Сколько у нас двоек? Троек? Четвёрок? Пятёрок?

Запишем определение: Каждая варианта наблюдается в ряде данных определённое количество раз. Это количество называется кратностью варианты.

Давайте оформим результаты наблюдений, а точнее, измерений, в виде таблицы: (рекомендую после таблицы оставить немного места, так как таблицу мы будем дополнять).

	варианта				сумма
	2	3	4	5
Кратность варианты	1	11	10	3	25

Если сложить все кратности, то получится общее количество оценок в классе, в статистике общее количество данных измерения называют объёмом измерения. (Записываем в тетрадь: Количество всех данных измерения – объём измерения ).

Итак, группировка данных завершена. Количество двоек у нас – 1. Если это среди ста обучающихся, то это немного, а если среди пяти? То есть нам нужно связать кратность варианты с объёмом измерения. Какую часть составляет наша варианта от общего объёма измерения? (Вычисляем: ; ; ; .)

Мы нашли с вами частоту варианты.

(Записываем: Частота варианты = кратность варианты/ объём измерения ).

Часто частоту переводят в проценты, для этого полученные результаты умножают на 100%.

Итак, запишем результаты в таблицу.

	варианта				сумма
	2	3	4	5
Кратность варианты	1	11	10	3	25
частота	0,04	0,44	0,40	0,12	1
Частота, %	4	44	40	12	100

Теперь информация о вашей успеваемости стала намного понятней: успеваемость в вашем классе составляет 96%, это те, кто успевает по предмету (имеет положительную оценку). Хорошим результатом это назвать нельзя, так как успевать должны все 100%. Качество знаний составляет 52%, это те, кто учится качественно , то есть на «4» и «5».

Какой вывод можно сделать из нашего исследования? Нам есть куда расти!

IV. Закрепление.

№ 19.3.Вопросы задания меняю.

Давайте составим общий ряд данных . Не думаю, что могут встретиться арбузы массой меньше 3 кг и больше 15 кг.
3; 3,5; 4; 4,5; 5; 5,5; 6; 6,5; 7; 7,5; 8; 8,5; 9; 9,5; 10; 10,5; 11; 11,5; 12; 12,5; 13; 13,5; 14; 14,5; 15.

А теперь составим ряд данных , то есть тех, которые имеются у нас в действительности.
5; 6; 6,5; 7; 8; 8,5; 9; 9,5; 10; 10,5; 11; 12.

1. Сейчас мы заполним таблицу, такую же, как в предыдущем примере:

	варианта												Сумма
	5	6	6,5	7	8	8,5	9	9,5	10	10,5	11	12
Кратность варианты	2	5	2	9	14	3	5	1	7	3	6	3	60
Частота	0,03	0,08	0,03	0,15	0,24	0,05	0,08	0,02	0,12	0,05	0,1	0,05	1
Частота, %.	3	8	3	15	24	5	8	2	12	5	10	5	100

(Дополнительные вопросы могут быть различными: Какова разница между самым тяжёлым и самым лёгким арбузом? Арбуз какой массы встречается чаще всего? Реже всего?)

(В зависимости от уровня класса эту таблицу можно закончить дома или задать другое домашнее задание).

V. Итоги урока.

(повторяем основные понятия, изученные на уроке, в тетради находим определения этих понятий). Домашнее задание: 19.4, 19.5.

Повторные измерения проводятся с интервалом не менее 2 мин. Если первые два измерения АД отличаются не более, чем на 5 мм рт.ст., измерения прекращают и за уровень АД принимают среднее значение этих величин. Если отличие > 5 мм рт.ст., проводится третье измерение, которое сравнивается по приведенным выше правилам со вторым, а при необходимости и четвертое измерение. Если в ходе этого выявляется прогрессивное снижение АД, то необходимо дать дополнительное время для расслабления пациента.

Если отмечаются разнонаправленные колебания АД, то дальнейшие измерения прекращают и определяют среднее трех последних измерений (при этом исключают максимальные и минимальные значения АД).

Во время первого визита пациента – измерять АД на обеих руках; в дальнейшем – на одной руке, всегда отмечая, на какой именно.

При выявлении устойчивой значительной асимметрии (> 10 мм рт.ст. для АДс и 5 мм рт.ст. для АДд) все последующие измерения проводятся на руке с более высокими цифрами. В противном случае - на «нерабочей» руке.

1. Подготовка к процедуре:

1.3. Придать пациенту удобное положение, усадить или уложить его.

2. Выполнение процедуры:

2.1. Обнажить руку пациента, расположив ее ладонью вверх на уровне сердца.

2.2. Наложить манжету тонометра на плечо пациента (на легкую одежду или салфетку). Между манжетой и поверхностью плеча должно помещаться два пальца (для детей и взрослых с маленьким объемом руки - один палец), а ее нижний край - на 2,5 см выше локтевой ямки.

2.3. Выяснить у пациента привычные и максимальные цифры АД.

2.4. Мембрану фонендоскопа поместить над проекцией плечевой артерии в области локтевой ямки, слегка прижав к коже.

2.5. После фиксации мембраны быстро накачать манжету до уровня, превышающего эти данные на 30 мм рт.ст.

2.6. Сохраняя положение фонендоскопа, начать выпускать воздух из манжеты со скоростью 2-3 мм рт.ст. за сек. (при давлении > 200 мм рт.ст. допускается увеличение этого показателя до 4-5 мм рт.ст. за сек).

2.7. Запомнить по шкале на тонометре появление первого тона - это систолическое давление.

2.8. Отметить по шкале на тонометре прекращение громкого последнего тона - это диастолическое давление (для контроля полного исчезновения тонов продолжать аускультацию до снижения давления в манжете на 15-20 мм рт.ст. относительно последнего тона).

3. Окончание процедуры:

3.1. Сообщить пациенту результат измерения АД.

3.2. Обработать мембрану фонендоскопа антисептическим или дез. средством.

3.3. Обработать руки гигиеническим способом, осушить.

3.4. Записать результаты в соответствующую медицинскую документацию.

3.5. Об изменении АД у пациента сообщить врачу.

Примечание:

Ø если пациент не знает цифр своего АД, то примерный уровень его определяется путем нагнетания воздуха в манжету до исчезновения пульса (фиксируется пальпаторно)

Ø у больных > 65 лет, при наличии СД и у получающих антигипертензивную терапию, следует измерить АД через 2 мин пребывания в положении стоя;

Ø целесообразно измерять давление на ногах, особенно у больных < 30 лет (с помощью широкой манжеты, фонендоскоп располагается в подколенной ямке).Классификация уровней АД (мм рт. ст.)

Исследование пульса

1. Подготовка к процедуре:

1.1. Представиться пациенту, объяснить цель и ход процедуры.

1.2. Вымыть руки с использованием мыла и антисептика, осушить.

1.3. Приготовить часы с секундной стрелкой или секундомер.

1.4. Придать пациенту удобное положение, усадить или уложить его; предложить расслабить руки, при этом кисти и предплечья не должны быть на весу.

2. Выполнение процедуры:

2.1. Взять руки пациента, свободно лежащие ладонями вниз. Прижать одновременно кисти пациента пальцами своих рук выше лучезапястного сустава так, чтобы 2, 3 и 4 пальцы находились над лучевой артерией (указательный палец - у основания большого пальца), а большой палец – на тыльной поверхности кисти;

2.2. Оценить следующие характеристики пульса:

- симметричность – совпадение пульсовых волн на обеих руках (если пульс симметричный, дальнейшее исследование проводить на одной руке);

- ритмичность – повторение пульсовых волн через равные промежутки (если интервалы между пульсовыми волнами различные, то пульс неправильный - аритмичный );

- частоту – количество пульсовых волн за 1 минуту;

- наполнение – характеризуется наполнением артерий кровью (если пульсовая волна хорошо ощущается, то пульс удовлетворительного наполнения ; при снижении систолического объема крови – слабого наполнения , или пустой );

- напряжение – определяется по той силе, с которой необходимо прижать лучевую артерию, чтобы полностью прекратились ее пульсовые колебания; напряжение зависит от уровня АД и тонуса сосудистой стенки (если пульс исчезает при сдавлении – ненапряжен ; если не исчезает при сдавлении – пульс напряженный ).

3. Окончание процедуры:

3.1. Сообщить пациенту результаты исследования пульса.

3.2. Обработать руки гигиеническим способом, осушить.

3.3. Записать результаты в соответствующую медицинскую документацию.

Примечание:

Ø Начинайте определять частоту пульса в тот момент, когда секундная стрелка находится у цифры 12 (в этом случае вы не забудете, в какой момент был начат отсчет).

Ø Никогда не исследуйте пульс большим пальцем, так как он имеет выраженную пульсацию и вы можете сосчитать собственный пульс вместо пульса пациента.

Ø Данные, полученные при исследовании пульса, записывают в«Медицинскую карту стационарного больного», план по уходу или амбулаторную карту.

Ø В температурном листе частоту пульса отмечают красным карандашом. В графу «П» (пульс) заносят частоту пульса - от 60 до 160 в мин. При значениях частоты пульса от 60 до 100 «цена» деления равна 2, а более 100 - 4.

Измерение суточного диуреза и определение водного баланса

Диурез – это выделение мочи за известный промежуток времени.

Суточный диурез – общее количество мочи, выделенной пациентом в течение суток. Суточный диурез у взрослых 800 - 2000 мл и зависит от возраста, температуры и влажности окружающей среды, условий питания, физических нагрузок и других факторов и должен составлять 75-80% от количества выпитой жидкости; 20-25% жидкости выводится с потом, дыханием и стулом.

Суточный водный баланс - это соотношение между количеством введенной в организм жидкости и количеством выделенной жидкости из организма в течение суток. Учитывается жидкость, содержащаяся во фруктах, супах, овощах и т. д., а также объем парентерально вводимых растворов.

Урок 282

Тема урока : Задачи математической статистики.

Цели урока:

Обучающая: Научить учащихся решать задачи по обработке

статистических данных, используя понятия:

объём измерения, размах измерения, мода

измерения, среднее арифметическое, медиана

измерения, варианта измерения, кратность

варианты, и составлять данные в виде таблиц,

диаграмм, графиков. Ввести понятия: частота

варианты, частота варианты (в процентах).

Развивающая:

Формировать умения учащихся, решать задачи на

обработку статистических данных, используя

данные в виде таблиц, диаграмм, графиков.

Развивать логическое и математическое мышление.

Воспитывающая:

Воспитывать культуру речи, построения плана

ответа, сознательной дисциплины, культуры

конструктивного мышления, активность на уроке,

аккуратность при выполнении записи на доске и в

тетради, положительный интерес к изучаемому

предмету.

Тип урока : Комбинированный.

Вид урока: Урок решения задач на обработку статистических

данных, используя данные в виде таблиц,

диаграмм, графиков.

Методы обучения: Репродуктивный.

Материально-техническое оснащение:

- Математика Учебник

Москва Издательский центр «Академия» 201

- Математика Учебник Общеобразовательные дисциплины

для профессий и специальностей социально-экономического

Москва Издательский центр «Академия» 2011

- Математика Задачник Общеобразовательные дисциплины

Начальное и среднее профессиональное образование

Москва Издательский центр «Академия» 2012

- дидактический раздаточный материал (карточки для

индивидуальной работы)

Ход урока

1. Организационный момент урока

Сдача рапорта

2. Целевая ориентация

(Преподаватель формулирует тему, цели и задачи урока. Мотивирует учащихся к учебной деятельности. Разъясняет последовательность этапов урока, приводящих к достижению цели)

3. Проверка домашнего задания.

4. Вопросы для закрепления изученного материала.

1). Перечислить основные этапы простейшей статистической обработки данных.

2). Что называют объемом измерения?

3). Что такое размах измерения?

4). Что называют модой измерения?

5). Что называют средним арифметическим?

6). Что называют вариантой измерения?

7). Что называют медианой измерения?

Формирование навыков умственного труда

Решение задач у доски

Задача 1

В таблице распределения данных часть информации была утеряна. Восстановить ее. Если известно, что объем измерения равен 20, размах измерения равен 6, а мода равна 2.

Варианта

Сумма

Кратность

Решение

По определению. В графе «Сумма» должен стоять объём измерения, т.е. 20. Этот объём равен сумме всех кратностей, значит, кратность варианты «0», равна 20 – (5+1+7+3) = 4.

Самая большая кратность равна 7. Значит, над ней и расположена мода измерения, равная 2. Так как размах равен 6, а наибольшая варианта равна 3, то наименьшая варианта равна 3 - 6 = - 3. эту варианту помещаем в последнюю свободную графу над кратностью 5.

Ответ:

Варианта

Сумма

Кратность

Задача 2

По приведённой гистограмме распределения данных найти: количество вариант измерения, объем, размах. моду измерения, наиболее удалённую от моды варианту и ее кратность. Составить таблицу распределения данных.

Решение.

Количество вариант – это количество столбиков в гистограмме, т.е. 7. Объем измерения равен сумме кратностей всех вариант, т.е. равен сумме высот всех семи столбиков: 3+2+7+3+5+4+1 = 25. Таблица распределения выглядит так:

Варианта

Сумма

Кратность

1). Наибольшая варианта равна 10, а наименьшая равна 2.

2). Размах равен 8. (10 – 2) =8.

3). Мода измерения равна 5, так как она встречалась чаще других – 7 раз.

4). На наибольшем расстоянии от моды находится варианта 10, её кратность равна 1.

Определение: Если кратность варианты разделить на объем измерения, то получится частота варианты . Это число показывает, какую часть (долю) среди всех данных составляют данные, равные выбранной варианте.

Частоту варианты можно измерить и в процентах.

Частота варианты (в процентах) =

Задача 3

В десятых классах трёх школ микрорайона провели проверочный диктант по русскому языку. По их результатам изображена гистограмма распределения полученных отметок.

а) Найти: общее количество работ, частоту пятёрок, процентную частоту

двоек.

б) Заполнить сводную таблицу распределения данных.

в) Построить гистограмму распределения частот (в процентах).

г) Построить круговую диаграмму распределения частот (в процентах).

Решение.

а) На гистограмме указано, что двоек было 40, троек – 50, четвёрок – 75, пятёрок – 35. значит. Всего было 200 работ. Это есть объём измерения. Частота пятёрок равна
, а частота (в процентах) двоек равна

б) Так как все кратности известны, то можно заполнить всю таблицу распределения:

Варианта

Сумма

Кратность

Частота

0.25

0.375

0,175

Частота,%

37,5

17,5

в) Для построения гистограммы распределения частот (в процентах) используем первую и четвёртую строки. Получим четыре вертикальных столбика. Основания которых соответствуют полученным отметкам, а высоты равны найденным частотам (в процентах).

г) разделим круг на четыре сектора. Центральный угол сектора двойки составляет 20% от 360 0 . т.е. 72 0 . Центральный угол сектора тройки составляет 25% от 360 0 , это прямой угол. Центральные углы секторов четвёрки и пятёрки равны соответственно 135 0 и 63 0 .

5. Вопросы для закрепления изученного материала.

1). Что называют частотой варианты?

2). По какой формуле измеряют частоту варианты в процентах?

6. Итог урока. Домашнее задание.

Задача.

По приведённой гистограмме распределения данных найти:

а) количество вариант и объем измерения;

б) размах и моду измерения;

в) таблицу распределения данных;

г) среднее результатов измерения.

Решение.

1) Количество вариант – это количество столбиков в гистограмме, т.е. 9. Объем измерения равен сумме кратностей всех вариант, т.е. равен сумме высот всех девяти столбиков: 5+6+3+7+4+11+5+4+5 = 50. Таблица распределения выглядит так:

Варианта

Сумма

Кратность

2). Наибольшая варианта равна 10, а наименьшая равна 2.

Размах равен 8. (10 – 2) = 8.

Мода измерения равна 7, так как она встречалась чаще других – 11 раз.

3). Таблица распределения выглядит так:

Варианта

Сумма

Кратность

4). Среднее арифметическое - это частное от деления суммы всех результатов измерения на объём измерения. Среднее удобно вычислять после того, как составлена таблица распределения. В данном случае вычисления выглядят так:

Термин «кратность» относится к области математики: с точки зрения этой науки, он означает количество раз, которое определенное число входит в состав другого числа.

Понятие кратности

Упрощая приведенное , можно сказать, что кратность одного числа по отношению к другому показывает, во сколько раз первое число больше второго. Таким образом, тот факт, что одно число является кратным другому фактически означает, что большее из них способно быть разделенным на меньшее без остатка. Например, кратным числу 3 является 6.

Такое понимание термина «кратность» влечет за собой выведение из него нескольких важных следствий. Первое из них - то, что любое число может иметь неограниченное количество кратных ему чисел. Это связано с тем, что фактически для того, чтобы получить кратное некоторому числу другое число, необходимо первое из них умножить на любое целое положительное значение, которых, в свою очередь, имеется бесконечное множество. Например, кратными числу 3 являются числа 6, 9, 12, 15 и другие, получаемые умножением числа 3 на любое целое положительное число.

Второе важное свойство касается определения наименьшего целого числа, являющегося кратным рассматриваемому. Так, наименьшим кратным по отношению к любому числу является само это число. Это связано с тем, что наименьшим целым результатом деления одного числа на другое является единица, а именно деление числа само на себя и обеспечивает этот результат. Соответственно, число, кратное рассматриваемому, не может быть меньше, чем само это число. Например, для числа 3 наименьшим кратным числом будет 3. При этом определить наибольшее число, кратное рассматриваемому, фактически невозможно.

Числа, кратные 10

Числа, кратные 10, обладают всеми перечисленными свойствами наравне с другими кратными числами. Так, из перечисленных свойств следует, что наименьшим числом, кратным 10, является само число 10. При этом, поскольку число 10 является двузначным, можно сделать вывод, что кратным числу 10 могут быть только числа, состоящие не менее чем из двух знаков.

Для того чтобы получить другие числа, кратные 10, необходимо число 10 умножить на любое целое положительное число. Таким образом, в перечень чисел, кратных 10, войдут числа 20, 30, 40, 50 и так далее. Следует обратить внимание, что все полученные числа должны без остатка делиться на 10. При этом определить наибольшее число, кратное 10, как и в случаях с другими числами, невозможно.

Кроме того, обратите внимание, что существует простой практический способ определить, является ли конкретное рассматриваемое число кратным 10. Для этого следует выяснить, какова его последняя цифра. Так, если она равна 0, рассматриваемое число будет кратным 10, то есть может быть без остатка разделено на 10. В противном случае число не является кратным 10.