Заслуженного профессора математики Уорикского университета, известного популяризатора науки Иэна Стюарта, посвященной роли чисел в истории человечества и актуальности их изучения в наше время.

Пифагорова гипотенуза

Пифагоровы треугольники имеют прямой угол и целочисленные стороны. У простейшего из них самая длинная сторона имеет длину 5, остальные - 3 и 4. Всего существует 5 правильных многогранников. Уравнение пятой степени невозможно решить при помощи корней пятой степени - или любых других корней. Решетки на плоскости и в трехмерном пространстве не имеют пятилепестковой симметрии вращения, поэтому такие симметрии отсутствуют и в кристаллах. Однако они могут быть у решеток в четырехмерном пространстве и в занятных структурах, известных как квазикристаллы.

Гипотенуза самой маленькой пифагоровой тройки

Теорема Пифагора гласит, что самая длинная сторона прямоугольного треугольника (пресловутая гипотенуза) соотносится с двумя другими сторонами этого треугольника очень просто и красиво: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.

Традиционно мы называем эту теорему именем Пифагора, но на самом деле история ее достаточно туманна. Глиняные таблички позволяют предположить, что древние вавилоняне знали теорему Пифагора задолго до самого Пифагора; славу первооткрывателя принес ему математический культ пифагорейцев, сторонники которого верили, что Вселенная основана на числовых закономерностях. Древние авторы приписывали пифагорейцам - а значит, и Пифагору - самые разные математические теоремы, но на самом деле мы представления не имеем о том, какой математикой занимался сам Пифагор. Мы даже не знаем, могли ли пифагорейцы доказать теорему Пифагора или просто верили в то, что она верна. Или, что наиболее вероятно, у них были убедительные данные о ее истинности, которых тем не менее не хватило бы на то, что мы считаем доказательством сегодня.

Доказательства Пифагора

Первое известное доказательство теоремы Пифагора мы находим в «Началах» Евклида. Это достаточно сложное доказательство с использованием чертежа, в котором викторианские школьники сразу узнали бы «пифагоровы штаны»; чертеж и правда напоминает сохнущие на веревке подштанники. Известны буквально сотни других доказательств, большинство из которых делает доказываемое утверждение более очевидным.

Рассечение Перигаля - еще одно доказательство-пазл.

Существует также доказательство теоремы с использованием укладки квадратов на плоскости. Возможно, именно так пифагорейцы или их неизвестные предшественники открыли эту теорему. Если взглянуть на то, как косой квадрат перекрывает два других квадрата, то можно увидеть, как разрезать большой квадрат на куски, а затем сложить из них два меньших квадрата. Можно увидеть также прямоугольные треугольники, стороны которых дают размеры трех задействованных квадратов.

Есть интересные доказательства с использованием подобных треугольников в тригонометрии. Известно по крайней мере пятьдесят различных доказательств.

Пифагоровы тройки

В теории чисел теорема Пифагора стала источником плодотворной идеи: найти целочисленные решения алгебраических уравнений. Пифагорова тройка - это набор целых чисел a, b и c, таких что

a 2 + b 2 = c 2 .

Геометрически такая тройка определяет прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами.

Самая маленькая гипотенуза пифагоровой тройки равна 5.

Другие две стороны этого треугольника равны 3 и 4. Здесь

3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 2 .

Следующая по величине гипотенуза равна 10, потому что

6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100 = 10 2 .

Однако это, по существу, тот же треугольник с удвоенными сторонами. Следующая по величине и по-настоящему другая гипотенуза равна 13, для нее

5 2 + 12 2 = 25 + 144 = 169 = 13 2 .

Евклид знал, что существует бесконечное число различных вариантов пифагоровых троек, и дал то, что можно назвать формулой для нахождения их всех. Позже Диофант Александрийский предложил простой рецепт, в основном совпадающий с евклидовым.

Возьмите любые два натуральных числа и вычислите:

их удвоенное произведение;

разность их квадратов;

сумму их квадратов.

Три получившихся числа будут сторонами пифагорова треугольника.

Возьмем, к примеру, числа 2 и 1. Вычислим:

удвоенное произведение: 2 × 2 × 1 = 4;

разность квадратов: 2 2 – 1 2 = 3;

сумма квадратов: 2 2 + 1 2 = 5,

и мы получили знаменитый треугольник 3–4–5. Если взять вместо этого числа 3 и 2, получим:

удвоенное произведение: 2 × 3 × 2 = 12;

разность квадратов: 3 2 – 2 2 = 5;

сумму квадратов: 3 2 + 2 2 = 13,

и получаем следующий по известности треугольник 5 – 12 – 13. Попробуем взять числа 42 и 23 и получим:

удвоенное произведение: 2 × 42 × 23 = 1932;

разность квадратов: 42 2 – 23 2 = 1235;

сумма квадратов: 42 2 + 23 2 = 2293,

никто никогда не слышал о треугольнике 1235–1932–2293.

Но эти числа тоже работают:

1235 2 + 1932 2 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 2293 2 .

В диофантовом правиле есть еще одна особенность, на которую уже намекали: получив три числа, мы можем взять еще одно произвольное число и все их на него умножить. Таким образом треугольник 3–4–5 можно превратить в треугольник 6–8–10, умножив все стороны на 2, или в треугольник 15–20–25, умножив все на 5.

Если перейти на язык алгебры, правило приобретает следующий вид: пусть u, v и k - натуральные числа. Тогда прямоугольный треугольник со сторонами

2kuv и k (u 2 – v 2) имеет гипотенузу

Существуют и другие способы изложения основной идеи, но все они сводятся к описанному выше. Этот метод позволяет получить все пифагоровы тройки.

Правильные многогранники

Существует ровным счетом пять правильных многогранников. Правильный многогранник (или полиэдр) - это объемная фигура с конечным числом плоских граней. Грани сходятся друг с другом на линиях, именуемых ребрами; ребра встречаются в точках, именуемых вершинами.

Кульминацией евклидовых «Начал» является доказательство того, что может быть только пять правильных многогранников, то есть многогранников, у которых каждая грань представляет собой правильный многоугольник (равные стороны, равные углы), все грани идентичны и все вершины окружены равным числом одинаково расположенных граней. Вот пять правильных многогранников:

тетраэдр с четырьмя треугольными гранями, четырьмя вершинами и шестью ребрами;

куб, или гексаэдр, с 6 квадратными гранями, 8 вершинами и 12 ребрами;

октаэдр с 8 треугольными гранями, 6 вершинами и 12 ребрами;

додекаэдр с 12 пятиугольными гранями, 20 вершинами и 30 ребрами;

икосаэдр с 20 треугольными гранями, 12 вершинами и 30 ребрами.

Правильные многогранники можно найти и в природе. В 1904 г. Эрнст Геккель опубликовал рисунки крохотных организмов, известных как радиолярии; многие из них по форме напоминают те самые пять правильных многогранников. Возможно, правда, он немного подправил природу, и рисунки не отражают полностью форму конкретных живых существ. Первые три структуры наблюдаются также в кристаллах. Додекаэдра и икосаэдра в кристаллах вы не найдете, хотя неправильные додекаэдры и икосаэдры там иногда попадаются. Настоящие додекаэдры могут возникать в виде квазикристаллов, которые во всем похожи на кристаллы, за исключением того, что их атомы не образуют периодической решетки.

Бывает интересно делать модели правильных многогранников из бумаги, вырезав предварительно набор соединенных между собой граней - это называется разверткой многогранника; развертку складывают по ребрам и склеивают соответствующие ребра между собой. Полезно добавить к одному из ребер каждой такой пары дополнительную площадку для клея, как показано на рис. 39. Если такой площадки нет, можно использовать липкую ленту.

Уравнение пятой степени

Не существует алгебраической формулы для решения уравнений 5-й степени.

В общем виде уравнение пятой степени выглядит так:

ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f = 0.

Проблема в том, чтобы найти формулу для решений такого уравнения (у него может быть до пяти решений). Опыт обращения с квадратными и кубическими уравнениями, а также с уравнениями четвертой степени позволяет предположить, что такая формула должна существовать и для уравнений пятой степени, причем в ней, по идее, должны фигурировать корни пятой, третьей и второй степени. Опять же, можно смело предположить, что такая формула, если она существует, окажется очень и очень сложной.

Это предположение в конечном итоге оказалось ошибочным. В самом деле, никакой такой формулы не существует; по крайней мере не существует формулы, состоящей из коэффициентов a, b, c, d, e и f, составленной с использованием сложения, вычитания, умножения и деления, а также извлечения корней. Таким образом, в числе 5 есть что-то совершенно особенное. Причины такого необычного поведения пятерки весьма глубоки, и потребовалось немало времени, чтобы в них разобраться.

Первым признаком проблемы стало то, что, как бы математики ни старались отыскать такую формулу, какими бы умными они ни были, они неизменно терпели неудачу. Некоторое время все считали, что причины кроются в неимоверной сложности формулы. Считалось, что никто просто не может как следует разобраться в этой алгебре. Однако со временем некоторые математики начали сомневаться в том, что такая формула вообще существует, а в 1823 г. Нильс Хендрик Абель сумел доказать обратное. Такой формулы не существует. Вскоре после этого Эварист Галуа нашел способ определить, решаемо ли уравнение той или иной степени - 5-й, 6-й, 7-й, вообще любой - с использованием такого рода формулы.

Вывод из всего этого прост: число 5 особенное. Можно решать алгебраические уравнения (при помощи корней n-й степени для различных значений n) для степеней 1, 2, 3 и 4, но не для 5-й степени. Здесь очевидная закономерность заканчивается.

Никого не удивляет, что уравнения степеней больше 5 ведут себя еще хуже; в частности, с ними связана такая же трудность: нет общих формул для их решения. Это не означает, что уравнения не имеют решений; это не означает также, что невозможно найти очень точные численные значения этих решений. Все дело в ограниченности традиционных инструментов алгебры. Это напоминает невозможность трисекции угла при помощи линейки и циркуля. Ответ существует, но перечисленные методы недостаточны и не позволяют определить, каков он.

Кристаллографическое ограничение

Кристаллы в двух и трех измерениях не имеют 5-лучевой симметрии вращения.

Атомы в кристалле образуют решетку, то есть структуру, которая периодически повторяется в нескольких независимых направлениях. К примеру, рисунок на обоях повторяется по длине рулона; кроме того, он обычно повторяется и в горизонтальном направлении, иногда со сдвигом от одного куска обоев к следующему. По существу, обои - это двумерный кристалл.

Существует 17 разновидностей обойных рисунков на плоскости (см. главу 17). Они различаются по типам симметрии, то есть по способам сдвинуть жестко рисунок таким образом, чтобы он точно лег сам на себя в первоначальном положении. К типам симметрии относятся, в частности, различные варианты симметрии вращения, где рисунок следует повернуть на определенный угол вокруг определенной точки - центра симметрии.

Порядок симметрии вращения - это то, сколько раз можно повернуть тело до полного круга так, чтобы все детали рисунка вернулись на первоначальные позиции. К примеру, поворот на 90° - это симметрия вращения 4-го порядка*. Список возможных типов симметрии вращения в кристаллической решетке вновь указывает на необычность числа 5: его там нет. Существуют варианты с симметрией вращения 2, 3, 4 и 6-го порядков, но ни один обойный рисунок не имеет симметрии вращения 5-го порядка. Симметрии вращения порядка больше 6 в кристаллах тоже не бывает, но первое нарушение последовательности происходит все же на числе 5.

То же происходит с кристаллографическими системами в трехмерном пространстве. Здесь решетка повторяет себя по трем независимым направлениям. Существует 219 различных типов симметрии, или 230, если считать зеркальное отражение рисунка отдельным его вариантом - притом, что в данном случае нет зеркальной симметрии. Опять же, наблюдаются симметрии вращения порядков 2, 3, 4 и 6, но не 5. Этот факт получил название кристаллографического ограничения.

В четырехмерном пространстве решетки с симметрией 5-го порядка существуют; вообще, для решеток достаточно высокой размерности возможен любой наперед заданный порядок симметрии вращения.

Квазикристаллы

Хотя симметрия вращения 5-го порядка в двумерных и трехмерных решетках невозможна, она может существовать в чуть менее регулярных структурах, известных как квазикристаллы. Воспользовавшись набросками Кеплера, Роджер Пенроуз открыл плоские системы с более общим типом пятикратной симметрии. Они получили название квазикристаллов.

Квазикристаллы существуют в природе. В 1984 г. Даниэль Шехтман открыл, что сплав алюминия и марганца может образовывать квазикристаллы; первоначально кристаллографы встретили его сообщение с некоторым скепсисом, но позже открытие было подтверждено, и в 2011 г. Шехтман был удостоен Нобелевской премии по химии. В 2009 г. команда ученых под руководством Луки Бинди обнаружила квазикристаллы в минерале с российского Корякского нагорья - соединении алюминия, меди и железа. Сегодня этот минерал называется икосаэдрит. Измерив при помощи масс-спектрометра содержание в минерале разных изотопов кислорода, ученые показали, что этот минерал возник не на Земле. Он сформировался около 4,5 млрд лет назад, в то время, когда Солнечная система только зарождалась, и провел большую часть времени в поясе астероидов, обращаясь вокруг Солнца, пока какое-то возмущение не изменило его орбиту и не привело его в конце концов на Землю.

Стюарт заслуживает высшей оценки за свой рассказ о том, насколько велика, удивительна и полезна роль каждого участника мирового сообщества чисел. Kirkus Reviews Стюарт блестяще объясняет сложные вопросы. New Scientist Самый блестящий и плодовитый популяризатор математики в Британии. Алекс Беллос О чем книгаПо сути математика - это цифры, наш основной инструмент для понимания мира. В своей книге самый известный британский популяризатор математики профессор Иэн Стюарт предлагает восхитительное знакомство с числами, которые нас окружают, начиная с привычных для нас комбинаций символов и заканчивая более экзотическими - факториалами, фракталами или постоянной Апери. На этом пути автор рассказывает нам о простых числах, о кубических уравнениях, о понятии нуля, о возможных вариантах кубика Рубика, о роли чисел в истории человечества и актуальности их изучения в наше время. С присущими ему остроумием и эрудицией Стюарт раскрывает перед читателем завораживающий мир математики. Почему книга достойна прочтения Самое интересное о самых невероятных числах в рассказе лучшего популяризатора математики из Британии, лауреата премии Льюиса Томаса 2015 года. Иэн Стюарт рассматривает удивительные свойства чисел от нуля до бесконечности - натуральных, комплексных, иррациональных, положительных, отрицательных, простых, составных - и показывает их историю начиная с удивительных открытий древних математиков до современного состояния математической науки. Под опытным руководством профессора вы узнаете секреты математических кодов и cудоку, кубика Рубика и музыкальных гамм, увидите, как одна бесконечность может быть больше другой, кроме того, обнаружите, что живете в одиннадцатимерном пространстве. Эта книга приведет в восторг тех, кто любит цифры, и тех, кто пока еще считает, что не любит их. Об автореПрофессор Иэн Стюарт - известный во всем мире популяризатор математики и автор множества увлекательных книг, удостоен ряда высших международных академических наград. В 2001 году стал членом Лондонского королевского общества. Заслуженный профессор Уорикского университета, занимается исследованиями динамики нелинейных систем и продвижением математических знаний. Автор бестселлера `Величайшие математические задачи`, выпущенного в издательстве `Альпина нон-фикшн в 2015 году. Ключевые понятияМатематика, цифры, числа, загадки, высшая математика, математические задачи, математические исследования, история математики, научпоп, наука.

Стюарт заслуживает высшей оценки за свой рассказ о том, насколько велика, удивительна и полезна роль каждого участника мирового сообщества чисел. Kirkus Reviews Стюарт блестяще объясняет сложные вопросы. New Scientist Самый блестящий и плодовитый популяризатор математики в Британии. Алекс Беллос О чем книгаПо сути математика - это цифры, наш основной инструмент для понимания мира. В своей книге са

...

Стюарт заслуживает высшей оценки за свой рассказ о том, насколько велика, удивительна и полезна роль каждого участника мирового сообщества чисел. Kirkus Reviews Стюарт блестяще объясняет сложные вопросы. New Scientist Самый блестящий и плодовитый популяризатор математики в Британии. Алекс Беллос О чем книгаПо сути математика - это цифры, наш основной инструмент для понимания мира. В своей книге самый известный британский популяризатор математики профессор Иэн Стюарт предлагает восхитительное знакомство с числами, которые нас окружают, начиная с привычных для нас комбинаций символов и заканчивая более экзотическими - факториалами, фракталами или постоянной Апери. На этом пути автор рассказывает нам о простых числах, о кубических уравнениях, о понятии нуля, о возможных вариантах кубика Рубика, о роли чисел в истории человечества и актуальности их изучения в наше время. С присущими ему остроумием и эрудицией Стюарт раскрывает перед читателем завораживающий мир математики. Почему книга достойна прочтения Самое интересное о самых невероятных числах в рассказе лучшего популяризатора математики из Британии, лауреата премии Льюиса Томаса 2015 года. Иэн Стюарт рассматривает удивительные свойства чисел от нуля до бесконечности - натуральных, комплексных, иррациональных, положительных, отрицательных, простых, составных - и показывает их историю начиная с удивительных открытий древних математиков до современного состояния математической науки. Под опытным руководством профессора вы узнаете секреты математических кодов и cудоку, кубика Рубика и музыкальных гамм, увидите, как одна бесконечность может быть больше другой, кроме того, обнаружите, что живете в одиннадцатимерном пространстве. Эта книга приведет в восторг тех, кто любит цифры, и тех, кто пока еще считает, что не любит их. Об автореПрофессор Иэн Стюарт - известный во всем мире популяризатор математики и автор множества увлекательных книг, удостоен ряда высших международных академических наград. В 2001 году стал членом Лондонского королевского общества. Заслуженный профессор Уорикского университета, занимается исследованиями динамики нелинейных систем и продвижением математических знаний. Автор бестселлера "Величайшие математические задачи", выпущенного в издательстве "Альпина нон-фикшн в 2015 году. Ключевые понятияМатематика, цифры, числа, загадки, высшая математика, математические задачи, математические исследования, история математики, научпоп, наука.

Книга «Невероятные числа профессора Стюарта » автора Стюарт Иэн оценена посетителями КнигоГид, и её читательский рейтинг составил 0.00 из 10.
Для бесплатного просмотра предоставляются: аннотация, публикация, отзывы, а также файлы на скачивания.

Разобравшись с числами от 1 до 10, мы сделаем шаг назад и рассмотрим 0.
Затем еще один шаг назад, чтобы получить −1.
Это открывает для нас целый мир отрицательных чисел. Кроме того, показывает новые применения для чисел.
Теперь они нужны не только для счета.

0. Ничто - это число или нет?

Нуль впервые возник в системах записи чисел и предназначен был именно для этого - для записи, то есть обозначения. Только позже нуль признали самостоятельным числом и позволили ему занять свое место - место одной из фундаментальных составляющих математической системы счисления. Однако нуль имеет немало необычных, иногда парадоксальных свойств. В частности, невозможно сколько-нибудь разумным образом разделить что-нибудь на 0. А где-то в глубине, в самом основании математики, все числа могут быть выведены из 0.

Устройство системы счисления

Во многих древних культурах символы, обозначавшие 1, 10 и 100, никак не были связаны между собой. Древние греки, к примеру, использовали буквы своего алфавита, чтобы обозначить числа от 1 до 9, от 10 до 90 и от 100 до 900. Такая система потенциально чревата путаницей, хотя, как правило, из контекста несложно определить, что именно обозначает буква: собственно букву или число. Но, кроме того, такая система сильно затрудняла арифметические действия.

Наш способ записи чисел, когда одна и та же цифра означает разные числа, в зависимости от места в числе, называется позиционной записью (см. главу 10). Эта система имеет очень серьезные преимущества для счета на бумаге «в столбик», а ведь именно так до недавнего времени осуществлялось большинство расчетов в мире. С позиционной записью основное, что необходимо знать, это базовые правила сложения и умножения десяти символов 0–9. Эти закономерности действуют и в том случае, когда те же цифры стоят на других позициях.
К примеру,
23 + 5 = 28   230 + 50 = 280   2300 + 500 = 2800.

Однако в древнегреческой нотации первые два примера выглядят так:
κγ + ε = κη     σλ + ν = σπ,
и в них нет очевидного сходства.

Однако у позиционной записи есть еще одна дополнительная черта, которая проявляется, в частности, в числе 2015: необходимость в нулевом символе. В данном случае он говорит о том, что в числе нет сотен. В греческой записи необходимости в нулевом символе нет. В числе σπ, скажем, σ означает 200, а π - 80. Мы можем быть уверены в том, что в числе нет единиц, просто потому, что в нем нет единичных символов α - θ. Вместо того, чтобы использовать нулевой символ, мы просто не пишем в числе никаких единичных символов.

Если мы в десятичной системе попытаемся поступить так же, 2015 превратится в 215, и мы не сможем сказать, что именно означает такое число: 215, 2150, 2105, 2015 или, может быть, 2 000 150. В ранних вариантах позиционной системы использовался пробел, 2 15, но пробел легко не заметить, а два пробела подряд - это всего лишь чуть более длинный пробел. Так что возникает путаница, и всегда легко ошибиться.

Краткая история нуля

Вавилон

Первыми среди мировых культур символ, обозначавший «здесь цифры нет», придумали вавилоняне. Вспомним (см. главу 10), что основанием вавилонской системы записи чисел было не 10 а 60. В ранней вавилонской арифметике отсутствие компонента 60 2 обозначалось пробелом, но к III в. до н. э. они изобрели для этого особый символ. Однако вавилоняне, кажется, не считали этот символ настоящим числом. Более того, на конце числа этот символ опускали, и о его значении приходилось догадываться из контекста.

Индия

Идея позиционной записи чисел в системе счисления с основанием 10 впервые появилась в книге «Локавибхага» - джайнистском космологическом тексте 458 г., в котором также используются шунья (что означает «пустота») там, где мы бы поставили 0. В 498 г. знаменитый индийский математик и астроном Арьябхата описал позиционную систему записи чисел как «место за местом, каждое в 10 раз больше по величине». Первое применение особого символа для десятичной цифры 0, о котором можно говорить с уверенностью, относится к 876 г. и содержится в надписи в храме Чатурбхуджа в Гвалиоре; этот символ представляет собой - догадайтесь что? Маленький кружок.

Майя

Центральноамериканская цивилизация майя, достигшая своего пика где-то между 250 и 900 г., пользовалась двадцатеричной системой счисления и имела особый значок для обозначения нуля. Вообще-то этот метод возник гораздо раньше и, как считается, был изобретен ольмеками (1500–400 гг. до н. э.). Кроме того, майя активно использовали числа в своей календарной системе, одно из правил которой получило наименование «долгий счет». Это означало отсчитывать дату в днях, идущих после мифической даты сотворения мира, которая, по современному западному календарю, пришлась бы на 11 августа 3114 г. до н. э. В этой системе символ для нуля совершенно необходим, поскольку без него невозможно избежать неоднозначности.

Является ли нуль числом?

До IX в. нуль рассматривался как удобный символ для численных расчетов, но не считался числом сам по себе. Вероятно, потому, что не использовался при счете.

Если спросят, сколько у вас коров - а коровы у вас действительно есть, - вы укажете на каждую из них по очереди и посчитаете: «Одна, две, три...» Но если никаких коров у вас нет, вы не будете указывать на какую-то корову и говорить: «Нуль», - поскольку указывать вам не на что. Поскольку 0 никогда не получается при счете, он, очевидно, не является числом.

Если такая позиция кажется вам странной, то следует заметить, что еще раньше «единицу» тоже не считали числом. В некоторых языках слово «число» означает также «несколько» или даже «много» . Практически во всех современных языках наблюдается различие между единственным и множественным числом. В древнегреческом присутствовало еще «двойственное» число, и в разговоре о двух предметах или лицах употреблялись особые формы слов. Так что в этом смысле «два» тоже не считалось таким же числом, как все прочие. То же наблюдается в нескольких других классических языках и даже в некоторых современных, таких как гэльский язык Шотландии или словенский язык . Следы этих же форм видны и в английском, где «оба» (both ) и «все» (all ) - разные слова.

По мере того как нуль как символ получал все более широкое распространение, да и вообще числа начинали использоваться не только для счета, становилось ясно, что во многих отношениях нуль ведет себя, в точности как любое другое число. К IX в. индийские математики уже считали нуль настоящим числом, а не просто символом, которым удобно обозначать пробелы между другими символами для ясности. Нуль свободно использовался в повседневных расчетах.

На числовой прямой, где числа 1, 2, 3... записываются по порядку слева направо, ни у кого не возникает затруднений с тем, где поставить нуль: слева от 1. Причина достаточно очевидна: прибавление 1 к любому числу сдвигает его на один шаг вправо. Прибавление 1 к 0 сдвигает его на 1, так что 0 следует поставить там, где один шаг вправо дает 1. А это и означает на один шаг влево от 1.

Признание отрицательных чисел окончательно закрепило за нулем место в ряду настоящих чисел. Никто не спорил с тем, что 3 - число. Если признать, что −3 это тоже число и что при сложении двух чисел всегда получается число, то результат действия 3 + (−3) должен быть числом. И число это 0.

Необычные свойства

Я сказал «во многих отношениях нуль ведет себя, в точности как любое другое число». Во многих, но не во всех. Нуль - особое число. Оно и должно быть особым, потому что это единственное число, аккуратно втиснутое между положительными и отрицательными числами.

Ясно, что прибавление 0 к любому числу не изменит это число. Если у меня есть три коровы и я прибавлю к ним еще ни одной, то у меня по-прежнему будет три коровы. Следует признать, что существуют и странные расчеты, подобные вот этому:

One cat has one tail.
No cat has eight tails.
Therefore, adding:
One cat has nine tails.

В этой маленькой шутке обыгрывается разное прочтение отрицания «No».

Из этого особого свойства нуля следует, что 0 + 0 = 0, а значит, −0 = 0. Нуль является противоположным самому себе. Это единственное такое число, и происходит это именно потому, что на числовой прямой нуль зажат между положительными и отрицательными числами.

А что с умножением? Если рассматривать умножение как последовательное сложение, то
2 × 0 = 0 + 0 = 0
3 × 0 = 0 + 0 + 0 = 0
4 × 0 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0,
и поэтому
n × 0 = 0
для любого числа n . Кстати говоря, это имеет смысл и в финансовых делах: если я положу три раза по нулю рублей на свой счет, то в итоге я ничего туда не положу. Опять же, нуль - единственное число, обладающее таким свойством.

В арифметике m × n равно n × m для всех чисел n и m . Такая договоренность подразумевает, что
0 × n = 0
для любого n , несмотря на то что мы не можем сложить «нуль раз» по n .

Что у нас с делением? Деление нуля на ненулевое число происходит просто и понятно: получается нуль. Половина от ничего, третья или любая другая часть от ничего - это ничто. Но, когда дело доходит до деления какого-нибудь числа на нуль, на сцену выходит необычность нуля. Что такое, к примеру, 1: 0? Мы определяем m : n как число q , для которого верно выражение q × n = m . Таким образом, 1: 0 это такое q , для которого выполняется q × 0 = 1. Однако такого числа не существует. Что бы мы ни взяли в качестве q , получим q × 0 = 0. А единицы мы не получим никогда.

Очевидный способ решить эту проблему - принять ее за данность. Деление на нуль запрещено, потому что не имеет смысла. С другой стороны, до введения дробей считалось, что выражение 1: 2 тоже не имеет смысла, так что, может быть, нам не стоило бы так быстро сдаваться. Мы могли бы попробовать придумать какое-нибудь новое число, которое позволило бы нам делить на нуль. Проблема в том, что такое число нарушает базовые правила арифметики. К примеру, мы знаем, что 1 × 0 = 2 × 0, поскольку то и другое по отдельности равно нулю. Разделив обе части на 0, получим 1 = 2, что откровенно нелепо. Так что представляется разумным просто не разрешать деление на нуль.

Числа из ничего

Математическую концепцию, наиболее, пожалуй, близкую к понятию «ничто», можно отыскать в теории множеств. Множество - это некий набор математических объектов: чисел, геометрических фигур, функций, графов... Множество определяется перечислением или описанием его элементов. «Множество чисел 2, 4, 6, 8» и «множество четных чисел больше 1 и меньше 9» определяют одно и то же множество, которое мы можем сформировать перечислением: {2, 4, 6, 8},
где фигурные скобки {} показывают, что внутри содержатся элементы множества.

Примерно в 1880 г. немецкий математик Кантор разработал подробную теорию множеств. Он пытался разобраться с некоторыми техническими аспектами математического анализа, связанными с точками разрыва функций - местами, где функция совершает неожиданные прыжки. В его ответе важную роль играла структура множества разрывов. При этом значение имели не отдельные разрывы, а вся их совокупность. По-настоящему Кантора в связи с анализом интересовали бесконечно большие множества. Он сделал серьезное открытие: выяснил, что бесконечности не одинаковы - одни из них больше, другие меньше (см. главу ℵ 0).

Как я упоминал в параграфе «Что такое число?», другой немецкий математик Фреге подхватил идеи Кантора, но его гораздо больше интересовали конечные множества. Он считал, что с их помощью можно решить глобальную философскую проблему, связанную с природой чисел. Он думал о том, как множества связаны друг с другом: например, как соотносится множество чашек с множеством блюдец. Семь дней в неделе, семь гномов и числа от 1 до 7 идеально совпадают друг с другом, так что все они определяют одно и то же число.

Какие из перечисленных множеств нам следует выбрать для представления числа семь? Фреге, отвечая на этот вопрос, не мелочился: все сразу . Он определил число как множество всех множеств, соответствующих данному множеству. В этом случае ни одно множество не является предпочтительным, а выбор делается однозначно, а не случайно и не произвольно. Наши символы и названия цифр - это всего лишь удобные ярлычки для этих гигантских множеств. Число «семь» - это множество всех множеств, равносильных гномам, и это то же самое, что множество всех множеств, равносильных дням недели или списку {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Вероятно, излишне указывать, что это весьма элегантное решение концептуальной проблемы не дает нам ничего конкретного в плане разумной системы представления чисел.

Когда Фреге представил свои идеи в двухтомном труде «Основные законы арифметики» (1893 и 1903 гг.), многим показалось, что ему удалось решить задачу. Теперь все знали, что такое число. Но перед самым выходом второго тома Бертран Расселл написал Фреге письмо, в котором говорилось (я перефразирую): «Дорогой Готтлоб, рассмотрите множество всех множеств, которые не содержат себя». Это как деревенский цирюльник, который бреет тех, кто не бреется сам; при таком определении возникает противоречие. Парадокс Расселла, как его теперь называют, показал, как опасно считать, что всеохватные множества существуют (см. главу ℵ 0).

Специалисты по математической логике попытались решить проблему. Ответ оказался строго противоположен «широкому мышлению» Фреге и его политике сваливания всех возможных множеств в одну кучу. Фокус состоял в том, чтобы выбрать ровно одно из всех возможных множеств. Чтобы определить число 2, следовало построить стандартное множество с двумя элементами. Чтобы определить 3, можно воспользоваться стандартным множеством с тремя элементами и так далее. Логика здесь не зацикливается, если эти множества сначала построить, не используя чисел в явном виде, а уже затем назначить им числовые символы и названия.

Основная проблема заключалась в выборе стандартных множеств для использования. Их необходимо было определить однозначным и единственным образом, а их структура должна была как-то соотноситься с процессом счета. Ответ пришел из очень специфического множества, известного как пустое множество.

Нуль - число, основа всей нашей системы счисления. Следовательно, с его помощью можно пересчитать элементы некоего множества. Какого множества? Ну, это должно быть множество без элементов. Такое множество несложно придумать: пусть это будет, к примеру, «множество всех мышей, весящих более 20 тонн каждая». На языке математики это означает, что существует множество, в котором нет ни одного элемента: пустое множество. В математике тоже несложно найти примеры: множество простых чисел, кратных 4, или множество всех треугольников с четырьмя вершинами. Эти множества выглядят по-разному - в одно входят числа, в другое треугольники, - но на самом деле это одно и то же множество, поскольку таких чисел и треугольников на самом деле не бывает и различить множества попросту невозможно. Во все пустые множества входят в точности одни и те же элементы: а именно никакие. Поэтому пустое множество единственно. Символ для него ввела группа ученых, работавшая под общим псевдонимом Бурбаки, в 1939 г., и выглядит он так: ∅. Теория множеств нуждается в пустом множестве точно так же, как арифметика в числе 0: если его включить, все становится значительно проще.

Более того, можно определить, что 0 - это и есть пустое множество.

А что с числом 1? Интуитивно понятно, что здесь нам нужно множество, состоящее из ровно одного элемента, причем уникального. Ну... пустое множество единственно и уникально. Таким образом, мы определяем 1 как множество, единственным элементом которого является пустое множество: на символьном языке {∅}. Это не то же самое, что пустое множество, потому что в этом множестве есть один элемент, тогда как в пустом множестве их нет. Согласен, этот единственный элемент - пустое множество, так получилось, но все же этот элемент в множестве имеется. Представьте себе множество как бумажный пакет с элементами. Пустое множество - это пустой пакет. Множество, единственным элементом которого является пустое множество, это пакет, в котором лежит другой пакет, пустой. Сами видите, это не одно и то же - в одном пакете ничего нет, а в другом лежит пакет.

Ключевой шаг - определение числа 2. Нам нужно единственным образом получить определенное множество с двумя элементами. Так почему бы не использовать единственные два множества, которые мы до сих пор упоминали: ∅ и {∅}? Поэтому мы определяем 2 как множество {∅, {∅}}. А это, согласно нашим определениям, то же самое, что 0, 1.

Вот теперь начинает проявляться общая закономерность. Определим 3 = 0, 1, 2 - множество с тремя элементами, которые мы уже определили. Затем 4 = 0, 1, 2, 3; 5 = 0, 1, 2, 3, 4 и так далее. Все, если разобраться, восходит к пустому множеству. К примеру,
3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
4 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}.

Вряд ли вам захочется видеть, как выглядит число гномов.

Строительными материалами здесь выступают абстракции: пустое множество и акт формирования множества путем перечисления его элементов. Но то, как эти множества соотносятся между собой, ведет к созданию строгого каркаса для числовой системы, в котором каждое число представляет собой особое множество, которое (что интуитивно понятно) имеет именно такое число элементов. И история на этом не заканчивается. Определив натуральные числа, мы можем при помощи аналогичных фокусов с теорией множеств определить отрицательные числа, дроби, действительные числа (бесконечные десятичные дроби), комплексные числа и так далее, до самой современной хитроумной математической концепции в квантовой теории.

Таким образом, теперь вам известна ужасная тайна математики: в ее основании лежит ничто.

–1. Меньше чем ничто

Может ли число быть меньше нуля? Считая коров, вы не получите ничего подобного, разве что представите себе «виртуальных коров», которых вы кому-то должны. В этом случае у вас возникнет естественное расширение числовой концепции, которое сильно облегчит жизнь алгебраистам и бухгалтерам. При этом вас ожидают сюрпризы: минус на минус дает плюс. С какой стати?

Отрицательные числа

Научившись складывать числа, мы начинаем осваивать обратную операцию: вычитание. Например, 4 − 3 в ответе дает то число, которое при сложении с 3 даст 4. Это, разумеется, 1. Вычитание полезно, поскольку без него нам, к примеру, трудно узнать, сколько у нас останется денег, если вначале у нас было 4 рубля, а потратили мы 3 рубля.

Вычитание меньшего числа из большего практически не вызывает проблем. Если мы потратили меньше денег, чем было у нас в кармане или в кошельке, то у нас еще что-то осталось. Но что произойдет, если мы вычтем большее число из меньшего? Что такое 3 − 4?

Если у вас в кармане лежат три монеты по 1 рублю, то вы не сможете вынуть из кармана четыре такие монеты и отдать их кассиру в супермаркете. Но сегодня, с кредитными картами, любой человек может легко тратить деньги, которых не имеет, причем не имеет не только в кармане, но и на счете в банке. Когда такое происходит, человек залезает в долги. В данном случае долг составил бы 1 рубль, не считая банковских процентов. Таким образом, в определенном смысле 3 − 4 равно 1, но другой 1: единице долга, а не денег. Если бы 1 имела свою противоположность, она была бы именно такой.

Чтобы отличать долг от наличных денег, принято ставить перед числом знак минус. В такой записи
3 − 4 = −1,
и можно считать, что мы изобрели новый тип числа: отрицательное число.

История отрицательных чисел

Исторически первым серьезным расширением системы счисления были дроби (см. главу ½). Вторыми стали отрицательные числа. Однако я намерен разбираться с этими типами чисел в обратном порядке. Первое известное упоминание отрицательных чисел содержится в китайском документе династии Хань (202 г. до н. э. - 220 г. н. э.) под названием «Искусство счета в девяти разделах» («Цзю чжан суань шу»).

В этой книге для счета использовался физический «помощник»: счетные палочки. Это небольшие палочки из дерева, кости или другого материала. Для представления чисел палочки выкладывались определенными фигурами. В единичном разряде числа горизонтальная черточка обозначает «один», а вертикальная - «пять». Так же выглядят цифры в сотенном разряде. В разрядах десятков и тысяч направления палочек меняются местами: вертикальная обозначает «один», а горизонтальная - «пять». Там, где мы поставили бы 0, китайцы просто оставляли пробел; однако пробел легко не заметить, и в этом случае правило о смене направлений помогает избежать путаницы, если, к примеру, в разделе десяток ничего нет. Этот способ менее эффективен, если в числе стоит несколько нулей подряд, но это редкий случай.

В «Искусстве счета в девяти разделах» палочки использовались также для представления отрицательных чисел, причем очень просто: они были окрашены в черный цвет, а не в красный. Так что
4 красных палочки минус 3 красных равно 1 красная палочка,
но
3 красных палочки минус 4 красных равно 1 черная палочка.

Таким образом, фигура из черных палочек означает долг, а размер долга соответствует фигурам из красных палочек.

Индийские математики тоже признавали отрицательные числа; кроме того, они составили непротиворечивые правила выполнения арифметических действий с ними.

В манускрипте Бахшали, датируемом примерно III в., содержатся расчеты с отрицательными числами, которые можно отличить от прочих по знаку + в тех местах, где мы использовали бы -. (Математические символы со временем неоднократно менялись, иногда так, что нам немудрено в них и запутаться.) Идею подхватили арабские математики, а уже от них она постепенно распространилась по Европе. До XVII в. европейские математики обычно интерпретировали отрицательный ответ как доказательство того, что задача, о которой идет речь, не имеет решения, но уже Фибоначчи понимал, что в финансовых расчетах они могут представлять долги. К XIX в. отрицательные числа уже не пугали математиков и не ставили их в тупик.

Запись отрицательных чисел

Геометрически числа удобно представлять в виде точек на прямой, идущей слева направо и начинающейся в 0. Мы уже видели, что у этой числовой прямой есть естественное продолжение, включающее отрицательные числа и идущее в противоположном направлении.

Совершать сложение и вычитание на числовой прямой очень удобно и просто. К примеру, чтобы прибавить 3 к любому числу, следует сдвинуться на три шага вправо. Чтобы вычесть 3, нужно сдвинуться на 3 шага влево. Такое действие дает верный результат как для положительных, так и для отрицательных чисел; например, если мы начнем с −7 и прибавим 3, то мы сдвинемся на 3 шага вправо и получим −4. Правила выполнения арифметических действий для отрицательных чисел также показывают, что прибавление или вычитание отрицательного числа дает тот же результат, что вычитание или прибавление соответствующего положительного. Так что, чтобы добавить -3 к любому числу, нам нужно сдвинуться на 3 шага влево. Чтобы вычесть −3 из любого числа, нужно сдвинуться на 3 шага вправо.

Умножение с участием отрицательных чисел более интересно. При первом знакомстве с умножением мы воспринимаем его как повторяющееся сложение. К примеру:
6 × 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 30.

Тот же подход подсказывает, что при умножении 6 × −5 нам следует действовать аналогично:
6 × −5 = −5 + (−5) + (−5) + (−5) + (−5) + (−5) = −30.

Далее, одно из правил арифметики гласит, что перемножение двух положительных чисел дает один и тот же результат независимо от того, в каком порядке мы берем числа. Так, 5 × 6 тоже должно равняться 30. Так и есть, потому что
5 × 6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30.

Так что представляется разумным принять это же правило и для отрицательных чисел. Тогда −5 × 6 тоже равно −30.

А как насчет −6 × −5? В этом вопросе ясности меньше. Мы не можем записать в ряд минус шесть раз по −5, а затем сложить их. Поэтому нам приходится последовательно решать этот вопрос. Посмотрим, что нам уже известно.

6 × 5 = 30
6 × −5 = −30
−6 × 5 = −30
−6 × −5 =?

На первый взгляд многим кажется, что ответ должен быть −30. Психологически это, вероятно, оправдано: все действие пронизано духом «отрицательности», так что и ответ, наверное, должен быть отрицательным. Вероятно, такое же ощущение лежит за дежурной фразой: «Но я ведь ничего не сделал». Однако, если вы ничего не сделали, значит, вы должны были сделать «не ничего», то есть что-то . Является ли такое замечание справедливым, зависит от правил грамматики, которыми вы пользуетесь. Лишнее отрицание можно рассматривать и как усилительную конструкцию.

Точно так же и то, чему будет равно −6 × −5, - вопрос человеческой договоренности. Когда мы придумываем новые числа, нет никакой гарантии, что к ним будут применимы старые концепции. Так что математики могли решить, что −6 × −5 = −30. Строго говоря, они могли решить, что при умножении -6 на −5 получится фиолетовый бегемот.

Однако есть несколько серьезных причин, по которым −30 в данном случае - неудачный выбор, и все эти причины указывают в противоположном направлении - на число 30.

Одна из причин состоит в том, что если −6 × −5 = −30, то это совпадает с −6 × 5. Разделив то и другое на −6, получим −5 = 5, что противоречит всему уже сказанному нами про отрицательные числа.

Вторая причина - в том, что мы уже знаем: 5 + (−5) = 0. Взгляните на числовую прямую. Что находится в пяти шагах влево от числа 5? Нуль. Умножение любого положительного числа на 0 дает 0, и представляется разумным считать, что то же относится и к отрицательным числам. Так что имеет смысл считать, что −6 × 0 = 0. Поэтому
0 = −6 × 0 = −6 × (5 + (−5)).

Согласно обычным правилам арифметики, это равно
−6 × 5 + −6 × −5.

С другой стороны, если бы мы выбрали −6 × -5 = 30, то получилось бы
0 = −6 × 0 = −6 × (5 + (−5)) = −6 × 5 + (−6) × −5 =
= −30 + 30 = 0,
и все встало бы на свои места.

Третья причина - это структура числовой прямой. Умножая положительное число на −1, мы превращаем его в соответствующее отрицательное число; то есть мы поворачиваем всю положительную половину числовой прямой на 180°, перенося ее справа налево. Куда при этом должна, по идее, перейти отрицательная половина? Если мы оставим ее на месте, мы получим ту же проблему, потому что −1 × −1 будет −1, что равно −1 × 1, и мы можем заключить, что −1 = 1. Единственная скольконибудь разумная альтернатива - это точно так же повернуть отрицательную часть числовой прямой на 180°, перенеся ее слева направо. Это красиво, поскольку теперь умножение на −1 полностью переворачивает числовую прямую, меняя порядок чисел на обратный. Отсюда следует, как ночь следует за днем, что новое умножение на −1 повернет числовую прямую на 180° еще раз. Порядок чисел при этом опять поменяется на обратный, и все вернется к тому, с чего начиналось. Таким образом, −1 × −1 - это то, куда попадает −1 при повороте числовой прямой, то есть 1. А если мы решаем, что −1 × -1 = 1, то отсюда напрямую следует, что −6 × −5 = 30.

Четвертая причина - интерпретация отрицательного количества денег как долга. В данном варианте умножение некоторого количества денег на отрицательное число дает тот же результат, что и умножение его на соответствующее положительное число, за исключением того, что реальные деньги превращаются в долг. С другой стороны, вычитание , «отнятие» долга, производит то же действие, как если бы банк убирал из своих записей часть вашего долга и, по существу, возвращал вам некоторое количество денег. Вычитание долга в 10 рублей из суммы вашего счета в точности соответствует внесению 10 рублей ваших денег на этот счет: при этом сумма счета увеличивается на 10 рублей. Суммарный эффект того и другого в данных обстоятельствах стремится вернуть ваш банковский баланс к нулю. Из этого следует, что −6 × −5 производит на ваш счет то же действие, как шестикратное вычитание (удаление) долга по 5 рублей, а значит, должно повысить ваш банковский баланс на 30 рублей.

У одной кошки есть один хвост. Нуль кошек имеют восемь хвостов. (Другое прочтение «Нет кошек с восемью хвостами».) Поэтому получаем: У одной кошки есть девять хвостов. - Прим. ред.

Мир построен на силе чисел.
Пифагор

Ещё в раннем детстве мы учимся считать, затем в школе получаем представление о неограниченности числового ряда, об элементах геометрии, о дробных и иррациональных числах, изучаем начала алгебры и математического анализа. Роль математики в современном познании, современной практической деятельности очень велика.

Без математики невозможен был бы прогресс физики, инженерного дела, организации производства.
Число - одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счёта или измерения. Числа нужны нам, чтобы регулировать всю нашу жизнь. Они окружают нас повсюду: номера домов, машин, даты рождения, чеки...

Иэн Стюарт, известный во всём мире популяризатор математики, автор множества увлекательных книг, признаётся, что числа завораживали его с самого раннего детства, и «до сих пор он очаровывается числами и узнаёт о них всё новые и новые факты».

Герои его новой книги - числа. По мнению английского профессора, каждое из них обладает своей индивидуальностью. Некоторые из них играют главную роль во многих областях математики. Например, число π, которое выражает отношение длины окружности к её диаметру. Но, как считает автор, «даже у самого скромного числа найдётся какое-нибудь необычное свойство». Так, например, невозможно сколько-нибудь разделить на 0, а «где-то в самом основании математики все числа могут быть выведены из нуля». Самое маленькое положительное целое число – это 1. Это неделимая единица арифметики, единственное положительное число, которое невозможно получить сложением меньших положительных чисел. С 1 мы начинаем счёт, ни у кого не возникает затруднений с умножением на 1. Любое число при умножении на 1 или при делении на 1 остаётся неизменным. Это единственное число, которое так себя ведёт.
Открывает издание краткий обзор числовых систем. Автор показывает, как они развивались в контексте меняющихся представлений человека о числах. Если математические знания в далёком прошлом применялись для решения повседневных задач, то сегодня практика ставит перед математикой всё более сложные задачи.
В каждой главе книги рассказывается об одном «интересном числе». Есть главы «0», «√2», «-1»...Читая книгу Иэна Стюарта, действительно, начинаешь понимать, насколько удивителен мир чисел! Конечно же, читателю без определённых математических знаний, «Невероятные числа профессора Стюарта», могут показаться трудными для восприятия. Издание адресовано, скорее, тому, кто, стремится стать эрудитом, или хочет блеснуть знаниями. Но, если вы любите математику, и хотите узнать, например, о супер-мега больших числах или мега-маленьких, эта книга для вас.